Question

已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)。

（I）證明：；

（II）若存在實(shí)數(shù)c，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）同解析；(2) 的取值范圍是.

【解析】解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)極值點(diǎn),

所以有三個(gè)互異的實(shí)根.

設(shè)則

當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù);

當(dāng)時(shí)， 在上為減函數(shù);

當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù);

所以函數(shù)在時(shí)取極大值,在時(shí)取極小值.

當(dāng)或時(shí),最多只有兩個(gè)不同實(shí)根.

 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811381067187901/SYS201205181139170156596768_DA.files/image020.png">有三個(gè)不同實(shí)根, 所以且.

 即,且,

解得且故.

（II）由（I）的證明可知，當(dāng)時(shí), 有三個(gè)極值點(diǎn).

 不妨設(shè)為（），則

所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,

若在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則, 或,

若,則.由（I）知，,于是

若,則且.由（I）知，

又當(dāng)時(shí)，;

當(dāng)時(shí)，.

因此, 當(dāng)時(shí)，所以且

即故或反之, 當(dāng)或時(shí)，

總可找到使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

綜上所述, 的取值范圍是.