Question

已知P是雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右支上一點(diǎn)，A₁，A₂分別為雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的離心率為e，有下列命題：①雙曲線(xiàn)的一條準(zhǔn)線(xiàn)被它的兩條漸近線(xiàn)所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)度為

2ab

a2+b2

；
②若|PF₁|=e|PF₂|，則e的最大值為

2

；③△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a；④若直線(xiàn)PF₁的斜率為k，則e²-k²＞1，其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：求出準(zhǔn)線(xiàn)被它的兩條漸近線(xiàn)所截得的線(xiàn)段的端點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可得到此準(zhǔn)線(xiàn)被它的兩條漸近線(xiàn)所截得的線(xiàn)段
長(zhǎng)度為

2ab

a2+b2

，故①正確．
由雙曲線(xiàn)的定義可得 2a+|PF₂|=e|PF₂|，根據(jù)|PF₂|=

2a2

c-a

≥c-a，求得1＜

c

a

≤1+

2

，故②不正確．
由雙曲線(xiàn)的定義及圓的切線(xiàn)性質(zhì)可得|KF₁|=a+c，故△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a，故③正確．
由題意可得k＜

b

a

，故e²-k²＞1，故④正確．

解答：解：對(duì)于①，一準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=

a2

c

，它的兩條漸近線(xiàn)方程為 y=±

b

a

x，
故準(zhǔn)線(xiàn)被它的兩條漸近線(xiàn)所截得的線(xiàn)段的端點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為 ±

ab

c

=±

ab

a2+b2

，
故此線(xiàn)段的長(zhǎng)度為

2ab

a2+b2

，故①正確．
對(duì)于②，若|PF₁|=e|PF₂|，則由雙曲線(xiàn)的定義可得 2a+|PF₂|=e|PF₂|，e＞1．
∴|PF₂|=

2a

-a+c a

=

2a2

c-a

≥c-a，∴e²-2e-1≤0，
∴1-

2

≤

c

a

≤1+

2

，故有 1＜e≤1+

2

，即離心率的最大值為1+

2

，故②不正確．
對(duì)于③，設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓與PF₁和PF₂的切點(diǎn)分別為M，N，與x軸的切點(diǎn)為K，
由雙曲線(xiàn)的定義及圓的切線(xiàn)性質(zhì)可得|MF₁|-|NF₂|=2a=|KF₁|-|KF₂|，
又|KF₁|+|KF₂|=2c，∴|KF₁|=a+c，故K為雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，又△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心
在切點(diǎn)K 的正上方，故△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a，故③正確．
對(duì)于④若直線(xiàn)PF₁的斜率為k，則由題意可得k＜

b

a

，∴k²＜

c2-a2

a2

，∴e²-k²＞1，故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．