Question

在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如圖1）．將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連接A₁B、A₁P（如圖2）


（Ⅰ）求證：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直線A₁E與平面A₁BP所成角的大��；
（Ⅲ）求二面角B-A₁P-F的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)表示）．

Answer 1

解法一：不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3
（1）在圖1中，取BE中點(diǎn)D，連接DF．AE：EB=CF：FA=1：2
∴AF=AD=2而∠A=60°，
∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，
∴EF⊥AD在圖2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A₁EB為二面角A_1-EF-B的平面角．由
題設(shè)條件知此二面角為直二面角，A₁E⊥BE，又BE∩EF=E（2）
∴A₁E⊥平面BEF，
即A₁E⊥平面BEP



（3）在圖2中，A₁E不垂直A₁B，
∴A₁E是平面A₁BP的垂線，又A₁E⊥平面BEP，
∴A₁E⊥BE．
從而BP垂直于A₁E在平面A₁BP內(nèi)的射影（三垂線定理的逆定理）設(shè)A₁E在平面A₁BP內(nèi)的射影為A₁Q，且A₁Q交BP于點(diǎn)Q，則∠E₁AQ就是A₁E與平面A₁BP所成的角，且BP⊥A₁Q．
在△EBP中，BE=EP=2而∠EBP=60°，
∴△EBP是等邊三角形．又A₁E⊥平面BEP，
∴A₁B=A₁P，
∴Q為BP的中點(diǎn)，且EQ=

3

，又A₁E=1，
在Rt△A₁EQ中，tan∠EA1Q=

EQ

A1E

=

3

，
∴∠EA₁Q=60°，
∴直線A₁E與平面A₁BP所成的角為60°



在圖3中，過(guò)F作FM⊥A₁P與M，連接QM，QF，
∵CP=CF=1，∠C=60°，
∴△FCP是正三角形，
∴PF=1．有PQ=

1

2

BP=1
∴PF=PQ①，
∵A₁E⊥平面BEP，EQ=EF=

3

∴A₁E=A₁Q，
∴△A₁FP≌△A₁QP從而∠A₁PF=∠A₁PQ②，
由①②及MP為公共邊知△FMP≌△QMP，
∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，
從而∠FMQ為二面角B-A₁P-F的平面角．
在Rt△A₁QP中，A₁Q=A₁F=2，PQ=1，又∴A1P=

5

．
∵M(jìn)Q⊥A₁P，∴MQ=

A1Q•PQ

A1P

=

2 5

5

∴MF=

2 5

5

在△FCQ中，F(xiàn)C=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得QF=

3

在△FMQ中，cos∠FMQ=

MF2+MQ2-QF2

2MF•MQ

=-

7

8

∴二面角B-A₁P-F的大小為π-arccos

7

8