Question

將連續(xù)正整數(shù)1，2，…，n（n∈N^*）從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)

.

123…n

，F(xiàn)（n）為這個(gè)數(shù)的位數(shù)（如n=12時(shí)，此數(shù)為123456789101112，共15個(gè)數(shù)字，F(xiàn)（12）=15），現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，p（n）為恰好取到0的概率．
（1）求p（100）；
（2）當(dāng)n≤2014時(shí)，求F（n）的表達(dá)式；
（3）令g（n）為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，f（n）為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，h（n）=f（n）-g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N^*}，求當(dāng)n∈S時(shí)p（n）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用

專題：推理和證明

分析：（1）根據(jù)題意，首先分析n=100時(shí)，這個(gè)數(shù)的位數(shù)，進(jìn)而可得其中0的個(gè)數(shù)，有等可能事件的概率公式，計(jì)算可得答案；
（2）分1≤n≤9，10≤n≤99，100≤n≤999，1000≤n≤2014，四種情況討論這個(gè)數(shù)的組成情況，綜合即可得F（n）；
（3）根據(jù)題意，分情況求出當(dāng)n∈S時(shí)p（n）的表達(dá)式，比較其最大值的大小，即可得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)n=100時(shí)，F(xiàn)（100）=9+90×2+3=192，即這個(gè)數(shù)中共有192個(gè)數(shù)字，
其中數(shù)字0的個(gè)數(shù)為11，
則恰好取到0的概率為P（100）=

11

192

；
（2）當(dāng)1≤n≤9時(shí)，這個(gè)數(shù)有1位數(shù)組成，F(xiàn)（n）=9，
當(dāng)10≤n≤99時(shí)，這個(gè)數(shù)有9個(gè)1位數(shù)組成，n-9個(gè)兩位數(shù)組成，則F（n）=2n-9，
當(dāng)100≤n≤999時(shí)，這個(gè)數(shù)有9個(gè)1位數(shù)組成，90個(gè)兩位數(shù)組成，n-99個(gè)三位數(shù)組成，F(xiàn)（n）=3n-108，
當(dāng)1000≤n≤2014時(shí)，這個(gè)數(shù)有9個(gè)1位數(shù)組成，90個(gè)兩位數(shù)組成，900個(gè)三位數(shù)組成，n-999個(gè)四位數(shù)組成，F(xiàn)（n）=4n-1107，
F（n）=

n 1≤n≤9 2n-9 10≤n≤99 3n-108 100≤n≤999 4n-1107 1000≤n≤2014

；
（3）當(dāng)n=b（1≤b≤9，b∈N^*）時(shí)，g（n）=0，
當(dāng)n=10k+b（1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N^*，b∈N^*）時(shí)，g（n）=k：
當(dāng)n=100時(shí)，g（n）=11，
即g（n）=

0 1≤n≤9 k n=10k+b 11 n=100

，同理有f（n）=

0 1≤n≤8 k n=10k+b-1 n-80 89≤n≤98 20 n=99、100

，
由h（n）=f（n）-g（n）=1，可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90，
所以當(dāng)n≤100時(shí)，S={9，19、29，39，49，59，69，79，89，90}；
當(dāng)n=9時(shí)，P（9）=0，
當(dāng)n=90時(shí)，P（90）=

9

171

=

1

19

，
當(dāng)n=10k+9（1≤k≤8，k∈N^*）時(shí)，p（n）=

g(n)

F(n)

=

k

2n-9

=

k

20k+9

，
由y=

k

20k+9

關(guān)于k單調(diào)遞增，故當(dāng)n=10k+9（1≤k≤8，k∈N^*）時(shí)，P（n）的最大值為P（89）=

8

169

，
又

8

169

＜

1

19

，所以當(dāng)n∈S時(shí)，P（n）的最大值為

1

19

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查合情推理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于正確理解題意，進(jìn)而分析推理．