Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，D是棱CC₁的中點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A₁C₁的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB₁∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的大�。�
（Ⅲ）在直線B₁P上是否存在一點(diǎn)Q，使得DQ⊥平面A₁BD，若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）以A₁B、A₁C、A₁A為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系如圖所示，可得A₁、B₁、C₁、B、P各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而算出向量

A1B

、

A1D

、

B1P

的坐標(biāo)，利用垂直向量的數(shù)量積為零的方法解出平面BDA₁的一個(gè)法向量為

a

=（1，

1

2

，-1），計(jì)算出

a

•

B1P

=0，得到直線PB₁與平面BDA₁的法向量垂直，即得PB₁∥平面BDA₁；
（II）由（I）知平面BDA₁的一個(gè)法向量

a

=（1，

1

2

，-1），結(jié)合

b

=（1，0，0）為平面AA₁D的一個(gè)法向量，利用空間向量和夾角公式，即可算出二面角A-A₁D-B的大�。�
（III）設(shè)Q的坐標(biāo)為Q（λ，2-2λ，0），假設(shè)DQ⊥平面A₁BD，可得平面BDA₁的法向量

a

與

DQ

垂直，得

a

•

DQ

=0，建立關(guān)于λ的方程解出矛盾，從而得出向量

a

與

DQ

不可能垂直，即直線B₁P上不存在一點(diǎn)Q使得DQ⊥平面A₁BD．

解答：解：以A₁為原點(diǎn)，A₁B、A₁C、A₁A分別為x軸、y軸、z軸，建立坐標(biāo)系如圖所示
可得A₁（0，0，0），B₁（1，0，0），C₁（0，1，0），
B（1，0，1），P（0，2，0）
（I）在△PAA₁中，C₁D=

1

2

AA₁，則D（0，1，

1

2

）
∴

A1B

=（1，0，1），

A1D

=（0，1，

1

2

），

B1P

=（-1，2，0）
設(shè)平面BDA₁的一個(gè)法向量為

a

=（x，y，z）
則

a • A1B =x+z=0 a • A1D =y+ 1 2 z=0

，取z=-1，得

a

=（1，

1

2

，-1）
∵

a

•

B1P

=1×（-1）+

1

2

×2+（-1）×0=0
∴直線PB₁與平面BDA₁的法向量垂直，可得PB₁∥平面BDA₁；
（II）由（I）知平面BDA₁的一個(gè)法向量

a

=（1，

1

2

，-1）
又

b

=（1，0，0）為平面AA₁D的一個(gè)法向量
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

|a| • |b|

=

2

3

，即二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值為

2

3

因此，二面角A-A₁D-B的大小為arccos

2

3

；
（III）根據(jù)點(diǎn)Q在B₁P上，設(shè)Q的坐標(biāo)為Q（λ，2-2λ，0）
∵D（0，1，

1

2

），∴

DQ

=（λ，1-2λ，-

1

2

）
若DQ⊥平面A₁BD，則平面BDA₁的法向量

a

=（1，

1

2

，-1）與

DQ

垂直
可得

a

•

DQ

=0，即λ×1+（1-2λ）×

1

2

+（-

1

2

）×（-1）=0，
解之得1=0矛盾
故向量

a

與

DQ

不可能垂直，即直線B₁P上不存在一點(diǎn)Q，使得DQ⊥平面A₁BD．

點(diǎn)評(píng)：本題在三棱柱中證明線面平行，求二面角的大小并探索線面垂直的問(wèn)題．著重考查了利用空間坐標(biāo)系研究平行、垂直的位置關(guān)系和線面垂直的證明等知識(shí)，屬于中檔題．