分析:(1)要證平面A1CB⊥平面ACB1;可以通過(guò)證出AB1⊥平面A1CB而得到.因?yàn)樗倪呅蜛1ABB1為菱形,所以A1B⊥AB1.若證出CB⊥AB1則可,由已知,利用CB⊥面A1ABB1,可實(shí)現(xiàn).
(2)可將三棱柱ABC-A1B1C1中補(bǔ)上同等體積的幾何體A1C1D1-ACD.構(gòu)成四棱柱A1B1C1D1-ABCD,而四棱柱A1B1C1D1-ABCD 視為以菱形A1ABB1為底面,CB為高的幾何體,體積易求.
解答:解:(1)證明:∵四邊形BCC
1B
1為矩形,∴B
1B⊥CB,
又AB⊥CB,B
1B∩AB=B
∴CB⊥面A
1ABB
1,AB
1?A
1ABB
1,
∴CB⊥AB
1,
∵四邊形A
1ABB
1為菱形,∴A
1B⊥AB
1,且CB∩A
1B=B,
∴AB
1⊥平面A
1CB,∵AB
1?平面ACB
1,
∴平面A
1CB⊥平面ACB
1;
(2)過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線,過(guò)C作BA的平行線,兩線交于點(diǎn)D,
則四邊形ABCD為平行四邊形.
同樣地作圖得出A
1B
1C
1D
1為平行四邊形.
連接D
1D,即將三棱柱ABC-A
1B
1C
1中補(bǔ)上了同等體積的幾何體A
1C
1D
1-ACD.構(gòu)成四棱柱A
1B
1C
1D
1-ABCD,
由(1)中CB⊥面A
1ABB
1,看作以A
1ABB
1為底面,以BC為高的四棱柱.
∴V
三棱柱ABC-A1B1C1=
V
四棱柱A1B1C1D1-ABCD
=
S
菱形A1ABB1×CB
=
×4×4sin60°×3
=12
.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線和直線、直線和平面、平面和平面垂直關(guān)系的判定與轉(zhuǎn)化,柱體體積的計(jì)算,考查空間想象、轉(zhuǎn)化、計(jì)算、論證能力.