在直平行六面體AC1中,ABCD是菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,AB=AA1
(1)求證:C1O∥平面AB1D1;
(2)求證:平面AB1D1⊥平面ACC1A1;
(3)求直線AC與平面AB1D1所成角的正弦值.
★你能同時用好“由因?qū)Ч蛨?zhí)果索因”的證明嗎?
分析:(1)連接A1C1交B1D1于O1,連接AO1,通過證得四邊形AOC1O1為平行四邊形,得出C1O∥AO1 后即可證明C1O∥面AB1D1.
(2)根據(jù)四邊形A1B1C1D1為菱形,得出B1D1⊥A1C1,易證A1A⊥B1D1,所以B1D1⊥平面ACC1A1,從而證明平面AB1D1⊥平面ACC1A1.
(3)過C作CH⊥AO1交AO1于H.CH⊥平面AB1D1 .∠CAH是AC與平面AB1D1 所成的角,在△CAH 中求解即可.
解答:證明:(1)連接A1C1交B1D1于O1,連接AO1
在平行四邊形AA1C1C中,C1O1∥AO,,C1O1=AO,
∴四邊形AOC1O1為平行四邊形.∴C1O∥AO1 .-----3分
又∵C1O?面AB1D1 ,AO1?面AB1D1 -------4分
∴C1O∥面AB1D1---------------------------------------5分
(2)在直平行六面體AC1中,A1A⊥平面A1B1C1D1
∴A1A⊥B1D1,
∵四邊形A1B1C1D1為菱形,∴B1D1⊥A1C1.--------------------------------------------7分
∵A1C1∩AA1=A1,A1C1?平面ACC1A1,,--------------9分
∴B1D1⊥平面ACC1A1
∵B1D1?平面AB1D1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1 .-------------------------------10分
(3)過C作CH⊥AO1交AO1于H.
∵平面AB1D1⊥平面ACC1A1 ,平面AB1D1∩平面ACC1A1=AO1 ,
∴CH⊥平面AB1D1 .∴AH為AC在平面AB1D1 上的射影.
∴∠CAH是AC與平面AB1D1 所成的角.----------------11分
設(shè)AB=2,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,
∴AC=2
3
.-------------------------------12分
在Rt△AA1O1中,AO1=
7

∵AO1•CH=AC•OO1,∴CH=
4
21
7
∴sin∠CAH=
CH
AC
=
2
7
7
.---14分
點評:本題主要考查空間角,距離的計算,線面垂直,面面垂直的定義,性質(zhì)、判定,考查了空間想象能力、計算能力,分析解決問題能力.空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法.
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