Question

在直平行六面體AC₁中，ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA₁．
（1）求證：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求直線AC與平面AB₁D₁所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）連接A₁C₁，交B₁D₁于O₁，證明四邊形AOC₁O₁為平行四邊形，從而由線線平行即AO₁∥OC₁，推證出線面平行即C₁O∥平面AB₁D₁
（2）先證明平面AB₁D₁⊥平面A₁C，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，過C作平面AB₁D₁的垂線，垂足一定在交線上，從而∠O₁AO就是直線AC與平面AB₁D₁所成的角，最后在三角形
O₁OA中計算此角即可

解答：解：（1）連接A₁C₁，交B₁D₁于O₁
在矩形ACA₁C₁中，易得O₁C₁∥A0，且O₁C₁=A0
∴四邊形AOC₁O₁為平行四邊形
∴AO₁∥OC₁，∵AO₁?平面AB₁D₁；
∴C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）∵B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥A₁A，
∴B₁D₁⊥平面A₁C，
∴平面AB₁D₁⊥平面A₁C，交線為AO₁；
∴點C在平面AB₁D₁⊥上的射影一定在交線AO₁上
∴∠O₁AO就是直線AC與平面AB₁D₁所成的角
在Rt△O₁OA中，AO=

3

2

AB，O₁O=|AB|
∴tan∠O₁AO=

2 3

3

∴直線AC與平面AB₁D₁所成的角為arctan

2 3

3

點評：本題考察了線面平行的證明方法和線面角的作法和求法，解題時要熟記線面平行的判定定理，熟記面面垂直的性質(zhì)定理，能將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決