Question

設(shè)x，y＞0，且x+y=4，若不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為

9

4

．

Answer 1

分析：要使不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立，只需

1

x

+

4

y

的最小值大于等于m即可，而由基本不等式可得

1

x

+

4

y

的最小值．

解答：解：∵x，y＞0，且x+y=4，∴

1

x

+

4

y

=（

1

x

+

4

y

）（

x+y

4

）
=

1

4

（5+

y

x

+

4x

y

）≥

1

4

（5+2×2）=

9

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)y=2x=

8

3

時(shí)等號(hào)成立．
故m≤

9

4

，即實(shí)數(shù)m的最大值為

9

4

．
故答案為：

9

4

點(diǎn)評(píng)：本題為基本不等式求最值，涉及恒成立問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題．