【題目】在△ABC中,已知 ,sinB=cosAsinC,SABC=6,P為線段AB上的點,且 ,則xy的最大值為

【答案】3
【解析】解:△ABC中,設AB=c,BC=a,AC=b,∵sinB=cosAsinC,sin(A+C)=sinCcosnA,

即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA.

∴sinAcosC=0,∵sinA≠0,∴cosC=0,C=90°.

=9,SABC=6,∴bccosA=9, bcsinA=6,∴tanA=

根據(jù)直角三角形可得sinA= ,cosA= ,bc=15,∴c=5,b=3,a=4.

以AC所在的直線為x軸,以BC所在的直線為y軸建立直角坐標系可得C(0,0),A(3,0),B(0,4).

P為線段AB上的一點,則存在實數(shù)λ使得 +(1﹣λ) =(3λ,4﹣4λ)(0≤λ≤1).

= , = ,則| |=| |=1,且 =(1,0), =(0,1).

=(x,0)+(0,y)=(x,y),可得x=3λ,y=4﹣4λ則4x+3y=12,

12=4x+3y≥2 ,解得xy≤3,

故所求的xy最大值為:3.

故答案為 3.

由條件求得bccosA=9, bcsinA=6,tanA= ,可得c=5,b=3,a=4,以AC所在的直線為x軸,以BC所在的直線為y軸建立直角坐標系可得C(0,0),A(3,0),B(0,4).設 = , = ,則 =(x,y),可得x=3λ,y=4﹣4λ則4x+3y=12,利用基本不等式求解最大值.

練習冊系列答案
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