Question

已知圓C₁：（x-4）²+y²=1，圓C₂：x²+（y-2）²=1，則C₁，C₂關(guān)于直線l對(duì)稱．
（1）求直線l的方程；
（2）直線l上是否存在點(diǎn)Q，使Q點(diǎn)到A（-2，0）點(diǎn)的距離減去Q點(diǎn)到B（2，O）點(diǎn)的距離的差為4，如果存在求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）圓C₁：（x-4）²+y²=1的圓心坐標(biāo)為（4，0），圓C₂：x²+（y-2）²=1的圓心坐標(biāo)為（0，2）
設(shè)直線l上的坐標(biāo)為P（x，y），則
∵C₁，C₂關(guān)于直線l對(duì)稱，∴|PC₁|=|PC₂|，
∴
化簡得：y=2x-3
因此直線l的方程是y=2x-3；      
（2）假設(shè)這樣的Q點(diǎn)存在，因?yàn)辄c(diǎn)Q到A（-2，0）點(diǎn)的距離減去Q點(diǎn)到B（2，0）的距離的差為4，
所以Q點(diǎn)在以A（-2，0）和（2，0）為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支上，
即Q點(diǎn)在曲線（x≥2）上，
∵Q點(diǎn)在直線l：y=2x-3上
∴代入曲線方程可得3x²-12x+13=0
∴△=12²-4×3×13＜0，方程組無解，
∴直線l上不存在滿足條件的點(diǎn)Q．
分析：（1）利用C₁，C₂關(guān)于直線l對(duì)稱，可得直線l上點(diǎn)到C₁，C₂的距離相等，建立方程，化簡可得結(jié)論；      
（2）根據(jù)點(diǎn)Q到點(diǎn)A（-2，0）點(diǎn)的距離減去Q點(diǎn)到B（2，0）的距離的差為4，可得Q的方程，與直線l：y=2x-3聯(lián)立，利用判別式可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．