Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE= CD=2，M是線段AE上的動點．
（Ⅰ）試確定點M的位置，使AC∥平面MDF，并說明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求平面MDF將幾何體ADE﹣BCF分成的兩部分的體積之比．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當M是線段AE的中點時，AC∥平面MDF．證明如下：

連結(jié)CE，交DF于N，連結(jié)MN，

由于M、N分別是AE、CE的中點，所以MN∥AC，

由于MN平面MDF，又AC平面MDF，

所以AC∥平面MDF．

（Ⅱ）如圖，將幾何體ADE﹣BCF補成三棱柱ADE﹣B′CF，

三棱柱ADE﹣B′CF的體積為 ，

則幾何體ADE﹣BCF的體積

VADE﹣BCF=V三棱柱ADE﹣BCF﹣VF﹣BB'C= ．

三棱錐F﹣DEM的體積V三棱錐M﹣DEF= ，

故兩部分的體積之比為 （答1：4，4，4：1均可）

【解析】（Ⅰ）首先，根據(jù)所給圖形，得到當M是線段AE的中點時，AC∥平面MDF．然后，根據(jù)線面平行的判定定理進行證明即可；（Ⅱ）利用補圖法，將幾何體ADE﹣BCF補成三棱柱ADE﹣B′CF，然后，借助于柱體和椎體的體積公式進行求解即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．