Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（

5π

4

）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正弦,二倍角的余弦,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，從而求得f（

5π

4

）的值．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，求得它的最小正周期．令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得x的范圍，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴f（

5π

4

）=

2

sin（

5π

2

+

π

4

）+1=

2

sin

3π

4

+1=

2

×

2

2

+1=2．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，故它的最小正周期為

2π

2

=π．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于中檔題．