【題目】已知橢圓1()的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn),直線與橢圓E交于B,C兩點(diǎn)(B,C不與A重合).
(1)求橢圓E的方程;
(2)若O,B,C三點(diǎn)不共線時(shí)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求面積的最大值;
(3)設(shè)直線AB,AC與軸的交點(diǎn)分別為P,Q,求證:.
【答案】(1);(2);(3)證明見解析.
【解析】
(1)結(jié)合待定系數(shù)法和離心率公式及橢圓的關(guān)系式聯(lián)立解方程即可求解;
(2)聯(lián)立直線與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,由韋達(dá)定理得x1+x2=﹣m,,表示出弦長,由點(diǎn)到直線距離公式求得O到直線BC的距離d,結(jié)合面積公式化簡可得S△OBC,由不等式性質(zhì)可求最值;
(3)畫出圖像,需將結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化,要求,即求∠AQP=∠APQ,即證kAP+kAQ=0,即證kAB+kAC=0,結(jié)合(2)化簡即可得證;
(1)由題意可知:,解得,∴橢圓E的方程為:;
(2)由A不在l上,可知m≠1,由,得:x2+mx+m2﹣3=0,
∴△=m2﹣4(m2﹣3)=12﹣3m2>0,即﹣2<m<2,且m≠1,m≠0,設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),
∴x1+x2=﹣m,,
∴|BC|,
又∵點(diǎn)O到直線BC的距離d,
∴S△OBC,
當(dāng)且僅當(dāng)m(滿足△>0且m≠0,1)時(shí),△OBC的面積取得最大值;
(3)
由(2)可知x1+x2=﹣m,,∴kAP+kAQ=kAB+kAC1
10,∴∠AQP=∠APQ,∴|AP|=|AQ|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn),且與直線相切.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程;
(2)設(shè)是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn),直線和的斜率分別為,且,證明直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
已知命題p:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根;
q:不等式的解集為R;
若p或q為真,p且q為假,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某部門參加職業(yè)技能測(cè)試的2000名員工中抽取100名員工,將其成績(滿分100分)按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)分成5組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計(jì)該部門參加測(cè)試員工的成績的眾數(shù)中位數(shù);
(2)估計(jì)該部門參加測(cè)試員工的平均成績;
(3)若成績?cè)?/span>80分及以上為優(yōu)秀,請(qǐng)估計(jì)該部門2000名員工中成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級(jí)如下表:
從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件,檢測(cè)后得到如下的頻率分布直方圖:
(1)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品”的規(guī)定?
(2)在樣本中,按產(chǎn)品等級(jí)用分層抽樣的方法抽取8件,再從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件,求抽取的4件產(chǎn)品中,一、二、三等品都有的概率;
(3)該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量,開展了“質(zhì)量提升月”活動(dòng),活動(dòng)后再抽樣檢測(cè),產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值近似滿足,則“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動(dòng)前大約提升了多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面四邊形ABCD中, AB=2,BD=,AB⊥BC,∠BCD=2∠ABD,△ABD的面積為2.
(1)求AD的長;
(2)求△CBD的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x-ax+(a-1),。
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)證明:若,則對(duì)任意x,x,xx,有。
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