Question

【題目】已知直線： 與圓相交的弦長(zhǎng)等于橢圓： （）的焦距長(zhǎng)．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為原點(diǎn)，橢圓與拋物線（）交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若直線、與軸分別交于、兩點(diǎn)，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】【試題分析】（1）利用圓心到直線的距離計(jì)算出直線與圓相交的弦長(zhǎng)，得到.利用求得，得到橢圓方程.（2）設(shè)出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，令求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入并利用兩點(diǎn)在橢圓上進(jìn)行化簡(jiǎn).

【試題解析】

解：（1）由題意知，圓心到直線的距離為，圓的半徑為 ，

直線與圓相交的弦長(zhǎng)為，則， ，

又∵，∴，

∴橢圓的方程．

（2）證明：由條件可知， ， 兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)， ，則，

由題可知， ， ，所以， ．

又直線的方程為，令得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

同理可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

所以

，

即為定值．