Question

（本題滿(mǎn)分12分）
已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓E過(guò)點(diǎn)(1，)，離心率為．
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)直線(xiàn)x＋y＋1＝0與橢圓E相交于A、B(B在A上方)兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線(xiàn)l，使l與橢圓相交于C、D(C在D上方)兩點(diǎn)且ABCD為平行四邊形，若存在，求直線(xiàn)l的方程與平行四邊形ABCD的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）＝1．（2）

解析試題分析：解：(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為＝1(a＞b＞0)，由題意可得
解得a²＝4，b²＝3．
∴橢圓的方程為＝1．                                   ……4分
(Ⅱ)由于直線(xiàn)x＋y＋1＝0過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁(－1,0)，且斜率為－1，由對(duì)稱(chēng)性可知，存在直線(xiàn)l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F₂(1,0)，且斜率為－1的直線(xiàn)l：x＋y－1＝0符合題意．
直線(xiàn)x＋y＋1＝0與直線(xiàn)x＋y－1=0的距離為d＝＝．         ……7分
聯(lián)立得7x²－8x－8＝0．
設(shè)C(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝－．                 ……9分
|CD|＝×＝×＝．
故平行四邊形ABCD的面積S＝×＝．                 ……12分
考點(diǎn)：本試題主要是考查了橢圓方程的求解，以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系。
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于圓錐曲線(xiàn)方程的求解，一般應(yīng)用待定系數(shù)法來(lái)得到。同時(shí)要采用設(shè)而不求的聯(lián)立方程組的思想，研究直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系。