Question

數(shù)列{a_n}前n項和記為S_n，且a_n＞0，Sn=

1

8

(an+2)2(n∈N*)
（1）求數(shù)列{a_n}通項公式a_n
（2）若b_n滿足bn=(t-1)

an+2

4

(t＞1)，T_n為數(shù)列{b_n}前n項和，求：T_n
（3）在（2）的條件下求

lim

n→∞

Tn

Tn+1

．

Answer 1

分析：（1）利用已知表達式，寫出n-1時的表達式，通過作差，利用數(shù)列是正數(shù)數(shù)列，判斷數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，然后求出通項公式a_n
（2）利用（1）化簡bn=(t-1)

an+2

4

(t＞1)，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，然后求解數(shù)列{b_n}前n項和T_n
（3）在（2）的條件下求

lim

n→∞

Tn

Tn+1

．通過t的范圍討論，利用數(shù)列極限 運算法則求解即可．

解答：解：（1）Sn=

1

8

(an+2)2可得Sn-1=

1

8

(an-1+2)2，n≥2．
兩式作差可得：8an=an2+4an-an-12-4an-1，
即：（a_n-a_n-1-4）（a_n+a_n-1）=0，
∵數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，
∴a_n-a_n-1-4=0，
∴{a_n}是等差數(shù)列．又a₁=S1=

1

8

(a1+2)2，
解得a₁=2．
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2．
數(shù)列{a_n}通項公式a_n=4n-2．
（2）若b_n滿足bn=(t-1)

an+2

4

(t＞1)，
∴bn=(t-1)

4n-2+2

4

=（t-1）ⁿ．
數(shù)列{b_n}是首項為t-1，公比為t-1的等比數(shù)列，
T_n=

(t-1)[1-(t-1)n]

1-t+1

=

(t-1)[1-(t-1)n]

-t

．
（3）

Tn

Tn+1

=

(t-1)[1-(t-1)n] -t

(t-1)[1-(t-1)n+1] -t

=

1-(t-1)n

1-(t-1)n+1

，

lim

n→∞

Tn

Tn+1

=

lim

n→∞

1-(t-1)n

1-(t-1)n+1

．
當t∈（1，2]時，t-1∈（0，1]，

lim

n→∞

Tn

Tn+1

=

lim

n→∞

1-(t-1)n

1-(t-1)n+1

=1．
當t∈（2，+∞）時，t-1∈（1，+∞），

lim

n→∞

Tn

Tn+1

=

lim

n→∞

1-(t-1)n

1-(t-1)n+1

=

lim

n→∞

1-(t-1)n (t-1)n+1

1-(t-1)n+1 (t-1)n+1

=

1

t-1

．

點評：本題考查數(shù)列的遞推關系式以及數(shù)列的判斷，通項公式的求法，數(shù)列極限的求法，考查轉化思想以及計算能力．