Question

求函數(shù)y=log_a（x-x²）（a＞0，a≠1）的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）對數(shù)的真數(shù)大于0，通過x-x²＞0求解函數(shù)的定義域．
（2）先求0＜x-x²的范圍，然后按照0＜a＜1，a＞1兩種情況求解．
（3）按照0＜a＜1，a＞1兩種情況討論，先將原函數(shù)分解為兩個基本函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解．

解答：解：（1）由x-x要使函數(shù)有意義，必須，x-x²＞0得0＜x＜1，
所以函數(shù)y=log_a（x-x²）的定義域是（0，1）（2分）
（2）因為0＜x-x²=-(x-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

，
所以，當(dāng)0＜a＜1時，loga(x-x2)≥loga

1

4

函數(shù)y=log_a（x-x²）的值域為 [loga

1

4

，+∞)；（5分）
當(dāng)a＞1時，loga(x-x2)≤loga

1

4

函數(shù)y=log_a（x-x²）的值域為 (-∞，loga

1

4

]（8分）
（3）當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y=log_a（x-x²）
在 (0，

1

2

]上是減函數(shù)，在 [

1

2

，1)上是增函數(shù)；（10分）
當(dāng)a＞1時，函數(shù)y=log_a（x-x²）
在 (0，

1

2

]上是增函數(shù)，在 [

1

2

，1)上是減函數(shù)．（12分）

點評：本題主要考查：研究復(fù)合函數(shù)的基本思路，先定義域，再求分解為兩個基本函數(shù)，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解．注意分類討論思想的應(yīng)用．