【題目】已知函數(shù)，.

（1）對任意的，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，證明：.

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】

（1）解法一：構(gòu)造函數(shù)，求出及，然后分類討論。

解法二：當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，通過分離得到，令，轉(zhuǎn)化為求在的最小值。

（2）由分析法要證，即證：繼而由（1）的解法二知：在時恒有，得證.

(1)解法一：令，

，

①當(dāng)時，對于任意的，，

在為增函數(shù)，，

在為增函數(shù)，，即，恒成立，滿足.

②當(dāng)時，令，得

則當(dāng)時，為減函數(shù)，此時，

故函數(shù)為減函數(shù)，，

即當(dāng)時，有，矛盾.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是：.

解法二：當(dāng)時，恒成立；

當(dāng)時，即為，

轉(zhuǎn)化為求在的最小值，

，令，，

由知：在為增函數(shù)，

故在為增函數(shù)，

即，函數(shù)在為增函數(shù)，故沒有最小值.

又由諾必達(dá)法則知：

，故.

（2）證明：要證，即證：，

，，故即證：，左邊分子分母同除以，

即證：

令，則，即證，即證：.

而由（1）的解法二知：在時恒有，得證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知平面內(nèi)一動點(diǎn)（）到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離的差等于1，

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與軌跡相交于不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩點(diǎn)，求面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知城市周邊有兩個小鎮(zhèn)、，其中鄉(xiāng)鎮(zhèn)位于城市的正東方處，鄉(xiāng)鎮(zhèn)與城市相距，與夾角的正切值為2，為方便交通，現(xiàn)準(zhǔn)備建設(shè)一條經(jīng)過城市的公路，使鄉(xiāng)鎮(zhèn)和分別位于的兩側(cè)，過和建設(shè)兩條垂直的公路和，分別與公路交匯于、兩點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

（1）當(dāng)兩個交匯點(diǎn)、重合，試確定此時路段長度；

（2）當(dāng)，計算此時兩個交匯點(diǎn)、到城市的距離之比；

（3）若要求兩個交匯點(diǎn)、的距離不超過，求正切值的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，，是拋物線上的兩個動點(diǎn)，且，過，兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為.

（1）若直線與，軸分別交于點(diǎn)，，且的面積為，求的值；

（2）求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解某校今年高三畢業(yè)班報考飛行員學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為1：2：3，其中體重在的有5人.

（1）求該校報考飛行員的總?cè)藬?shù)；

（2）從該校報考飛行員的體重在學(xué)生中任選3人，設(shè)表示體重超過70的學(xué)生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，已知，求實(shí)數(shù)的值.

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【題目】某教師將寒假期間該校所有學(xué)生閱讀小說的時間統(tǒng)計如下圖所示，并統(tǒng)計了部分學(xué)生閱讀小說的類型，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：

男生

女生

閱讀武俠小說

80

30

閱讀都市小說

20

70

（1）是否有99.9%的把握認(rèn)為“性別”與“閱讀小說的類型”有關(guān)？

（2）求學(xué)生閱讀小說時間的眾數(shù)和平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（3）若按照分層抽樣的方法從閱讀時間在、的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再從這6人中隨機(jī)挑選2人介紹選取小說類型的緣由，求所挑選的2人閱讀時間都在的概率.

附：，.

0.025

0.010

0.005

0.001

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康。經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加。為了更好的制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收人力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了2018年50位農(nóng)民的年收人并制成如下頻率分布直方圖：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計50位農(nóng)民的年平均收入（單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）；

（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入服從正態(tài)分布，其中近似為年平均收入,近似為樣本方差，經(jīng)計算得.利用該正態(tài)分布，求:

(i)在2019年脫貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？

（ii）為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實(shí)情況, 扶貧辦隨機(jī)走訪了1000位農(nóng)民。若每個農(nóng)民的年收人相互獨(dú)立，問：這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少？

附：參考數(shù)據(jù)與公式，若～，則①；②；③.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的最大值為，其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則下列判斷正確的是（）

A. 函數(shù)在上單調(diào)遞增

B. 函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱

C. 當(dāng)時，函數(shù)的最小值為

D. 要得到函數(shù)的圖像，只需要將的圖像向右平移個單位

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