Question

過(guò)點(diǎn)M（0，4）且斜率為-1的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）于A，B兩點(diǎn)，若AO⊥BO，求拋物線(xiàn)方程．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意可求得直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可表示出x₁x₂和x₁+x₂，進(jìn)而利用直線(xiàn)方程表示出y₁y₂，進(jìn)而根據(jù)AO⊥BO，推斷出x₁x₂+y₁y₂=0，則p的值可得，進(jìn)而求得拋物線(xiàn)的方程．
解答：解：依題意可求得直線(xiàn)l的方程為y+x-4，
代入拋物線(xiàn)方程得 x²-（8+2p）x+16=0，
由韋達(dá)定理得x₁x₂=16，x₁+x₂=2p+8
∴y₁y₂=（-x₁+4）（-x₂+4）=-8p．
∵AO⊥BO，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴p=2，
∴拋物線(xiàn)C為：y²=4x．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．考查了基本的分析問(wèn)題的能力和基礎(chǔ)的運(yùn)算能力．