Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中的一條雙曲線，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F（-

5

，0），且過點(diǎn)（2，0）．
（Ⅰ）求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（1，2），若P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）直接利用已知條件求出a、b，即可求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x₀，y₀），利用P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，即可求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得雙曲線的半焦距c=

5

，實(shí)半長軸a=2，則虛半軸軸b=1．（3分）
又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

-y2=1．（5分）
（Ⅱ）設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x₀，y₀），
由

x= x0+1 2 y= y0+2 2

，得

x0=2x-1 y0=2y-2

，（9分）
由點(diǎn)P在雙曲線上，得

(2x-1)2

4

-(2y-2)2=1，（11分）
∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是(x-

1

2

)2-4(y-1)2=1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．