【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1為矩形,AB=2,AA1=2 ,D是AA1的中點(diǎn),BD與AB1交于點(diǎn)O,且CO⊥平面ABB1A1 .
(1)證明:CD⊥AB1;
(2)若OC=OA,求直線CD與平面ABC所成角的正弦值.
【答案】
(1)證明:∵D是矩形AA1的中點(diǎn),∴AD= AA1= .
∴ = ,∴△DAB∽△ABB1,∴∠ABD=∠AB1B,
∵∠BAB1+∠AB1B=90°,∴∠BAB1+∠ABD=90°,∴BD⊥AB1.
∵CO⊥平面ABB1A1,AB1平面ABB1A1,
∴CO⊥AB1,又CO平面BCD,BD平面BCD,CO∩BD=O,
∴AB1⊥平面BCD,∵CD平面BCD,
∴CD⊥AB1.
(2)解:以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)D,OB1,OC為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:
則A(0,﹣ ,0),B(﹣ ,0,0),C(0,0, ),D( ,0,0).
∴ =( ,0,﹣ ), =(﹣ , ,0), =(0, , ).
設(shè)平面ABC的法向量為 =(x,y,z),則 ,
即 ,令x=1得 =(1, ,﹣ ).
∴ = ,∴cos< >= = .
∴直線CD與平面ABC所成角的正弦值為 .
【解析】(1)根據(jù)△DAB∽△ABB得出BD⊥AB1 . 根據(jù)CO⊥平面ABB1A1得出CO⊥AB1 , 于是AB1⊥平面BCD,從而得出CD⊥AB1;(2)根據(jù)三角形相似計(jì)算OA,OB,OC,OD,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出 及平面ABC的法向量 ,計(jì)算|cos< >|即可.
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【題目】設(shè)S是實(shí)數(shù)集R的非空子集,若對(duì)任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,則稱S為封閉集.下列命題:①集合S={a+b|a,b為整數(shù)}為封閉集;②若S為封閉集,則一定有0∈S;③封閉集一定是無限集;④若S為封閉集,則滿足STR的任意集合T也是封閉集.其中真命題是________.(寫出所有真命題的序號(hào))
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【題目】已知集合A={|=},B={|<- 4或>2}.
(1) 若m= -2, 求A∩(RB)
(2)若A∪B=B,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n和為Sn , a1=2,當(dāng)n≥2時(shí),2Sn﹣an=n,則S2016的值為 .
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【題目】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,半焦距為,離心率,又直線交橢圓于, 兩點(diǎn),且為中點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若,求弦的長(zhǎng);
(3)若點(diǎn)恰好平分弦,求實(shí)數(shù);
(4)若滿足,求實(shí)數(shù)的取值范圍并求的值;
(5)設(shè)圓與橢圓相交于點(diǎn)與點(diǎn),求的最小值,并求此時(shí)圓的方程;
(6)若直線是圓的切線,證明的大小為定值.
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【題目】已知直線l: (t為參數(shù),α≠0)經(jīng)過橢圓C: (φ為參數(shù))的左焦點(diǎn)F.
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),求|FA|×|FB|取最小值時(shí),直線l的傾斜角α.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)滿足,.
求函數(shù)的解析式;
若關(guān)于x的不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍
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【題目】在籃球比賽中,如果某位球員的得分,籃板,助攻,搶斷,蓋帽中有兩個(gè)值達(dá)到或以上,就稱該球員拿到了兩雙.下表是某球員在最近五場(chǎng)比賽中的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì):
場(chǎng)次 | 得分 | 籃板 | 助攻 | 搶斷 | 蓋帽 |
()從上述比賽中任選場(chǎng),求該球員拿到“兩雙”的概率.
()從上述比賽中任選場(chǎng),設(shè)該球員拿到“兩雙”的次數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
()假設(shè)各場(chǎng)比賽互相獨(dú)立,將該球員在上述比賽中獲得“兩雙”的頻率作為概率,設(shè)其在接下來的三場(chǎng)比賽中獲得“兩雙”的次數(shù)為,試比賽與的大小關(guān)系(只需寫出結(jié)論).
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得出下面四個(gè)結(jié)論:
①甲同學(xué)的閱讀表達(dá)成績(jī)排名比他的邏輯思維成績(jī)排名更靠前
②乙同學(xué)的邏輯思維成績(jī)排名比他的閱讀表達(dá)成績(jī)排名更靠前
③甲、乙、丙三位同學(xué)的邏輯思維成績(jī)排名中,甲同學(xué)更靠前
④乙同學(xué)的總成績(jī)排名比丙同學(xué)的總成績(jī)排名更靠前
則所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.
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