如圖所示,在一個特定時段內(nèi),以點E為中心的10海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點E正北40
3
海里處有一個雷達觀測站A,某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東30°且與點A相距100海里的位置B,經(jīng)過2小時又測得該船已行駛到點A北偏東60°且與點A相距20
3
海里的位置C.
(1)求該船的行駛速度(單位:海里/小時); 
(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會進入警戒水域,并說明理由.
分析:(Ⅰ)先以點A為原點,正東方向為X軸正半軸建系如圖,得出點B,C的坐標(biāo),再利用兩點距離公式得BC從而求得小船速度即可;
(Ⅱ)欲判斷它是否會進入警戒水域,只須比較圓心E到直線BC的距離圓的半徑的大小即可.
解答:解析:(1)如圖建立平面直角坐標(biāo)系:設(shè)一個單位為10海里
則坐標(biāo)平面中AB=10,AC=2
3
A(0,0),E(0,-4
3

再由方位角可求得:B(5,5
3
),C(3,
3

…4分
所以|BC|=
(5-3)2+(5
3
-
3
)
2
=2
13

…6分
所以BC兩地的距離為20
13
海里
所以該船行駛的速度為10
13
海里/小時
…7分
(2)直線BC的斜率為
5
3
-
3
5-3
=2
3

所以直線BC的方程為:y-
3
=2
3
(x-3)
即2
3
x-y-5
3
=0…10分
所以E點到直線BC的距離為
|4
3
-5
3
|
13
=
3
13
<1…12分
所以直線BC會與以E為圓心,以一個單位長為半徑的圓相交,
所以若該船不改變航行方向則會進入警戒水域.…14分
答:該船行駛的速度為10
13
海里/小時,若該船不改變航行方向則會進入警戒水域.
點評:本題考查已三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題,注意選擇正確的坐標(biāo)系以及合理的定理解答是解好題目的關(guān)鍵,考查計算能力.
練習(xí)冊系列答案
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如圖所示,在一個特定時段內(nèi),以點E為中心的10海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點E正北40海里處有一個雷達觀測站A,某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東30°且與點A相距100海里的位置B,經(jīng)過2小時又測得該船已行駛到點A北偏東60°且與點A相距20海里的位置C.

(1)求該船的行駛速度(單位:海里/小時);

(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會進入警戒水域,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本小題滿分14分)

如圖所示,在一個特定時段內(nèi),以點E為中心的10海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點E正北40海里處有一個雷達觀測站A,某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東30°且與點A相距100海里的位置B,經(jīng)過2小時又測得該船已行駛到點A北偏東60°且與點A相距20海里的位置C.

(1)求該船的行駛速度(單位:海里/小時);

(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會進入警戒水域,并說明理由.

 

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如圖所示,在一個特定時段內(nèi),以點E為中心的10海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點E正北40海里處有一個雷達觀測站A,某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東30°且與點A相距100海里的位置B,經(jīng)過2小時又測得該船已行駛到點A北偏東60°且與點A相距20海里的位置C.
(1)求該船的行駛速度(單位:海里/小時); 
(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會進入警戒水域,并說明理由.

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