【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)
,過(guò)動(dòng)點(diǎn)
作直線(xiàn)
的垂線(xiàn),垂足為
,且
.記動(dòng)點(diǎn)
的軌跡為曲線(xiàn)
.
(1)求曲線(xiàn)的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)
交曲線(xiàn)
于不同的兩點(diǎn)
,
.
①若為線(xiàn)段
的中點(diǎn),求直線(xiàn)
的方程;
②設(shè)關(guān)于
軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為
,求
面積
的取值范圍.
【答案】(1)(2)①
.②
【解析】
(1)設(shè),利用直接法求曲線(xiàn)的方程;
(2)①由已知,分析可知直線(xiàn)的斜率存在且不為零,設(shè)
,聯(lián)立拋物線(xiàn)方程,利用韋達(dá)定理解決;②將
用直線(xiàn)
的斜率表示,即
,再結(jié)合
的范圍即可解決.
(1)設(shè),則
.
因?yàn)?/span>,所以
,
因?yàn)?/span>,所以
,即
.
所以曲線(xiàn)的方程為
.
(2)①若直線(xiàn)的斜率不存在,則
與曲線(xiàn)
無(wú)公共點(diǎn),因此
的斜率存在;
若的斜率為0,則
與曲線(xiàn)
只有一個(gè)公共點(diǎn),因此
的斜率不為0.
設(shè),
由得
,于是
,解得
且
.
設(shè),
,則
.
因?yàn)?/span>為線(xiàn)段
的中點(diǎn),所以
.
又,所以
,
因此,所以
,符合
且
,
于是,此時(shí)直線(xiàn)
的方程為
.
②因?yàn)辄c(diǎn),
關(guān)于
軸對(duì)稱(chēng),所以
,
于是點(diǎn)到直線(xiàn)
的距離為
.
因?yàn)?/span>,所以
.
又,
所以.
因?yàn)?/span>,所以
.
又因?yàn)?/span>且
,因此
,
即面積
的取值范圍為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(﹣2,0),B(2,0),P為不在x軸上的動(dòng)點(diǎn),直線(xiàn)PA,PB的斜率滿(mǎn)足kPAkPB.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Γ的方程;
(2)若M,N是軌跡Γ上兩點(diǎn),kMN=1,求△OMN面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿(mǎn)足
,
.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為
,若對(duì)于一切
,不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
(3)設(shè),是否存在正整數(shù)
,使得數(shù)列
中存在某項(xiàng)
滿(mǎn)足
成等差數(shù)列?若存在,求出符合題意的
的集合;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里出現(xiàn)了如圖所示的表,即楊輝三角,這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.在“楊輝三角”中,已知第行的所有數(shù)字之和為
,若去除所有為1的項(xiàng),依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,……,則此數(shù)列的前56項(xiàng)和為( )
A. 2060B. 2038C. 4084D. 4108
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)在一部向下運(yùn)行的手扶電梯終點(diǎn)的正上方豎直懸掛一幅廣告畫(huà).如圖,該電梯的高為
米,它所占水平地面的長(zhǎng)
為
米.該廣告畫(huà)最高點(diǎn)
到地面的距離為
米,最低點(diǎn)
到地面距離
米.假設(shè)某人眼睛到腳底的距離
為
米,他豎直站在此電梯上觀(guān)看
視角為
.
(Ⅰ)設(shè)此人到直線(xiàn)的距離為
米,試用含
的表達(dá)式表示
;
(Ⅱ)此人到直線(xiàn)的距離為多少米時(shí),視角
最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)和
有相同的公切線(xiàn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是函數(shù)
的極值點(diǎn).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求證:函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)
,且
.
(參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線(xiàn)圖,下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)分析.
①甲同學(xué)的成績(jī)折線(xiàn)圖具有較好的對(duì)稱(chēng)性,故平均成績(jī)?yōu)?30分;
②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線(xiàn)圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi);
③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線(xiàn)性相關(guān)性,且為正相關(guān);
④乙同學(xué)連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)成績(jī)每一次均有明顯進(jìn)步.
其中正確的個(gè)數(shù)為( 。
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2018年全國(guó)數(shù)學(xué)奧賽試行改革:在高二一年中舉行5次全區(qū)競(jìng)賽,學(xué)生如果其中2次成績(jī)達(dá)全區(qū)前20名即可進(jìn)入省隊(duì)培訓(xùn),不用參加其余的競(jìng)賽,而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次競(jìng)賽.規(guī)定:若前4次競(jìng)賽成績(jī)都沒(méi)有達(dá)全區(qū)前20名,則第5次不能參加競(jìng)賽.假設(shè)某學(xué)生每次成績(jī)達(dá)全區(qū)前20名的概率都是,每次競(jìng)賽成績(jī)達(dá)全區(qū)前20名與否互相獨(dú)立.
(1)求該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)的概率.
(2)如果該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)或參加完5次競(jìng)賽就結(jié)束,記該學(xué)生參加競(jìng)賽的次數(shù)為,求
的分布列及
的數(shù)學(xué)期望.
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