Question

【題目】已知是函數(shù)的極值點(diǎn).

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，且.

（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見證明

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)求得；通過導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證函數(shù)的單調(diào)性，可知時(shí)極值點(diǎn)為，滿足題意；(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)可知極小值點(diǎn)位于，此時(shí)的零點(diǎn)，且此時(shí)為極小值點(diǎn)，代入得到關(guān)于的二次函數(shù)，求解二次函數(shù)值域即可證得結(jié)論.

(Ⅰ)因?yàn)?/span>，且是極值點(diǎn)

所以，所以

此時(shí)

設(shè) ，則

則當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)

又

當(dāng)時(shí)，，則為增函數(shù)

當(dāng) 時(shí)，，則為減函數(shù)

此時(shí)為的極大值點(diǎn)，符合題意

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，時(shí)，不存在極小值點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，且 ，

所以存在

結(jié)合(Ⅰ)可知當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)； 時(shí)，，為增函數(shù)，所以函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)

又 ，所以

且滿足 .

所以

由二次函數(shù)圖象可知：

又，