Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù).
（1）若a>0,試判斷在定義域內(nèi)的單調(diào)性;
（2）若在上的最小值為,求a的值;
（3）若在上恒成立,求a的取值范圍

 

Answer 1

（1）在上是單調(diào)遞增函數(shù)；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由題意知的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021206010868032684/SYS201502120601190089620735_DA/SYS201502120601190089620735_DA.002.png">,求導(dǎo)數(shù)知, 在上是單調(diào)遞增函數(shù)；

（2）討論①；②；③等幾種情況，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、確定最小值，建立方程求解.

（3）由已知得到，
令.
通過討論函數(shù)的單調(diào)性明確 得解.

試題解析：（1）由題意知的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021206010868032684/SYS201502120601190089620735_DA/SYS201502120601190089620735_DA.002.png">,且,

∴, 故在上是單調(diào)遞增函數(shù) 4分

（2）由（1）可知, .
①若,則,即在上恒成立, 此時在上為增函數(shù),
∴ (舍去) 6分

②若,則,即在上恒成立, 此時在上為減函數(shù),
∴ (舍去) 8分

③若令得
當(dāng)時, ∴在上為減函數(shù);
當(dāng)時, ,∴在上為增函數(shù),
∴.綜上所述, 10分

（3）∵.又，
令.
∵時, 在上是減函數(shù).
∴,即在上也是減函數(shù).
,∴當(dāng)時, 在上恒成立 14分

考點(diǎn)：1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；2.轉(zhuǎn)化與化歸思想.