Question

橢圓C的中心在原點，并以雙曲線的焦點為焦點，以拋物線的準(zhǔn)線到原點的距離為
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+2（k≠0）與橢圓C相交于A、B兩點，使A、B兩點關(guān)于直線l′：y=mx+1（m≠0）對稱，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定雙曲線的焦點坐標(biāo)，拋物線的準(zhǔn)線方程，利用條件，求出橢圓的幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）根據(jù)題設(shè)，可得，利用，結(jié)合弦AB的中點在直線上，即可求得k的值．
解答：解：（1）在雙曲線中，，
∴焦點為．
在拋物線中，，∴準(zhǔn)線為．
∴在橢圓中，．從而．
∴所求橢圓C的方程為．
（2）設(shè)弦AB的中點為P（x，y），則點P是直線l與直線l′的交點，且直線l⊥l′，∴．
由得：，∴ky=-3x．…①
由得：ky=-x+k．…②
由①、②得：．
又∵y=kx+2，∴，即k²=1，∴k=±1．
在y=kx+2中，當(dāng)x=0時，y=2，即直線l經(jīng)過定點M（0，2）．
而定點M（0，2）在橢圓的內(nèi)部，故直線l與橢圓一定相交于兩個不同的交點，
∴k的值為±1．
點評：本題考查橢圓的方程，考查雙曲線、拋物線的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．