Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0，

2

)，離心率為e=

2

2

，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為1的橢圓C上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線PA、PB分別交橢圓C于兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0，

2

)，離心率為e=

2

2

，知c=

2

，e=

c

a

=

2

2

，由此能求出橢圓方程．
（2）由P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

2

），設(shè)PA的斜率為k，那么PB的斜率為-k．其方程分別為：y=k（x-1）+

2

，y=-k（x-1）+

2

，求出直線AB的斜率為

2

．由橢圓方程為

x2

2

+

y2

4

=1．設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

cosa，2sina），直線AB方程為y-2sina=

2

（x-

2

2cosa），則P到AB的距離PD為

| 2 - 2 +2sinα-2cosα|

3

=

2

3

|sina-cosa|，AB的距離為|x₁-x₂|•

1+k2

=

3

•|x1-x2|，由此能求出△PAB面積最大值．

解答：解：（1）∵橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0，

2

)，離心率為e=

2

2

，
∴c=

2

，e=

c

a

=

2

2

，
∵a²=b²+（

2

）²，
解得a²=4，b²=2，
∴橢圓方程為

x2

2

+

y2

4

=1．
（2）由已知，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

2

），若PA的斜率為k，那么PB的斜率為-k．其方程分別為：
y=k（x-1）+

2

，y=-k（x-1）+

2

，
分別代入橢圓方程，得：
（k²+2）x²-（2k²-2

2

k）x+（k²-2

2

k-2）=0，
（k²+2）x²-（2k²+2

2

k）x+（k²+2

2

k-2）=0，
由于x=1是以上兩個(gè)方程的解，所以將這兩個(gè)方程分解因式得
（x-1）[（k²+2）x-（k²-2

2

k-2）]=0
（x-1）[（k²+2）x-（k²+2

2

k-2）]=0
所以x₁=

1

k2+2

（k²-2

2

k-2），x₂=

1

k2+2

（k²+2

2

k-2），
所以直線AB的斜率為：

y2-y1

x2-x1

=

1

x 2-x1

[-k（x₂-1）+

2

-k（x₁-1）-

2

]
=

1

x2-x1

[2-（x₁+x₂）]k
=

[2- 2(k2-2) k2+2 ]k

2•2 2 k k2+2

=

2

．
∵橢圓方程為

x2

2

+

y2

4

=1．
∴設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

cosa，2sina），直線AB方程為y-2sina=

2

（x-

2

cosa），
P到AB的距離PD為

| 2 - 2 +2sinα-2cosα|

3

=

2

3

|sina-cosa|，
AB的距離為|x₁-x₂|•

1+k2

=

3

•|x1-x2|，
把方程y-2sina=

2

（x-

2

cosa），代入橢圓方程，得
x²+

2

（sina-cosa）x-2sinacosa=0，
x₁=

2

cosa，x₂=-

2

sina，
于是△PAB的面積=

1

2

×|PD|×|AB|
=

1

2

×

3

×

2

×|sinα+cosα|×

2

3

|sina-cosa|
=

2

|sina²-cosa²|，
所以△PAB面積最大值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和三角形面積人最大值的求法，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．易錯(cuò)點(diǎn)是直線AB的斜率的求解，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．