Question

【題目】若正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，記.

（1）若為等比數(shù)列，公比為，為等差數(shù)列，求的值；

（2）設(shè)當(dāng)時(shí)，若存在唯一的正整數(shù)，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由為等比數(shù)列，列出通項(xiàng)公式，可得和，又為等差數(shù)列，故可代入求得的值。（2）先判斷，再構(gòu)造數(shù)列代入等式，可得最后求得的最大值和次大值，又對(duì)于有唯一正整數(shù)解求的取值范圍.

（1）由題得，為等比數(shù)列，則,前項(xiàng)乘積為，.

又為等差數(shù)列，則，即，由，故，解得：.

（2）反證:若，下面要證明

由題意，代入得：.即當(dāng)時(shí)命題成立

設(shè)時(shí)命題成立，即，則有，推知，即時(shí)命題成立.

于是有，與題中條件矛盾.

故假設(shè)不成立，.

等式兩邊同時(shí)乘以可以得到：，設(shè)，于是有.

由題中條件得，所以

故，則，，故，所以.

，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.

構(gòu)造函數(shù)，則.

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

的單調(diào)性與的相同，所以在單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減.

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最大值只有和兩個(gè)，顯然，故最大值為.

次大值在和中，顯然，故次大值為.

故若存在唯一的正整數(shù)，使得成立，則.