16.設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B,F(xiàn)為其右焦點(diǎn),若AF⊥BF,且∠ABF=$\frac{π}{4}$,則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

分析 由題意可知:|AF|=|BF|,且AF⊥BF,根據(jù)斜率公式及橢圓的性質(zhì),列方程組即可求得B的坐標(biāo),由A、B分別是橢圓的上下頂點(diǎn),可知c=b,根據(jù)橢圓的性質(zhì)即可求得橢圓的離心率.

解答 解:設(shè)A(x0,y0),則B(-x0,-y0),而F(c,0),
依題意有|AF|=|BF|,且AF⊥BF,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}-{c}^{2}+{y}_{0}^{2}=-{x}_{0}-{c}^{2}+{y}_{0}^{2}}\\{\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-c}•\frac{-{y}_{0}-0}{-{x}_{0}-c}=-1}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=0}\\{{y}_{0}=±c}\end{array}\right.$,
∴由題意知A、B分別是橢圓的上下頂點(diǎn),
∴c=b,
∴c2=b2=a2-c2,解得:e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
故答案為:$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì),考查斜率公式及離心率公式,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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