【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若對于定義域內(nèi)的任意x1 , 總存在x2使得f(x2)<f(x1),則滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】a≥0
【解析】解:對于定義域內(nèi)的任意x1 總存在x2使得f(x2)<f(x1),即為f(x)在x≠﹣a處無最小值;
①a=0時,f(x)= 無最小值顯然成立;
②a>0時,f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)= ,可得f(x)在(﹣∞,﹣a)上遞減,在(﹣a,3a)上遞增,在(3a,+∞)遞減,
即有f(x)在x=3a處取得極大值;
當(dāng)x>a時,f(x)>0;x<a時,f(x)<0.取x1<a,x2≠﹣a即可;
當(dāng)x<﹣a時,f(x)在(﹣∞,﹣a)遞減,且x1< <﹣a,
f(x1)>f(< ),故存在x2=x1+ |x1+a|,使得f(x2)<f(x1);
同理當(dāng)﹣a<x1<a時,令x2=x1﹣ |x1+a|,使得f(x2)<f(x1)也符合;
則有當(dāng)a>0時,f(x2)<f(x1)成立;
③當(dāng)a<0時,f(x)在(﹣∞,3a)上遞減,在(3a,a)上遞增,在(﹣a,+∞)上遞減,即有f(x)在x=3a處取得極小值,
當(dāng)x>a時,f(x)>0; x<a時,f(x)<0.
f(x)min=f(3a),當(dāng)x1=3a時,不存在x2 , 使得f(x2)<f(x1)成立.
綜上可得,a的取值范圍是:[0,+∞)
所以答案是:a≥0.
【考點精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx﹣ax﹣3(a≠0).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)+(a+1)x+4﹣e≤0對任意x∈[e,e2]恒成立,求實數(shù)a的取值范圍(e為自然常數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)在定義域[﹣1,1]是奇函數(shù),當(dāng)x∈[﹣1,0]時,f(x)=﹣3x2 .
(1)當(dāng)x∈[0,1],求f(x);
(2)對任意a∈[﹣1,1],x∈[﹣1,1],不等式f(x)≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立,求θ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣mx(m∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)m≥ 時,設(shè)g(x)=2f(x)+x2的兩個極值點x1 , x2(x1<x2)恰為h(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零點,求y=(x1﹣x2)h′( )的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x﹣1|.
(1)若不等式f(x+ )≥2m+1(m>0)的解集為(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞),求實數(shù)m的值;
(2)若不等式f(x)≤2y+ +|2x+3|,對任意的實數(shù)x,y∈R恒成立,求實數(shù)a的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P,Q分別為的中點.
求證:(1)平面D1 BQ∥平面PAO.
(2)求異面直線QD1與AO所成角的余弦值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一塊平行四邊形綠地ABCD,經(jīng)測量BC=2百米,CD=1百米,∠BCD=120°,擬過線段BC上一點E設(shè)計一條直路EF(點F在四邊形ABCD的邊上,不計路的寬度),將綠地分為面積之比為1:3的左右兩部分,分別種植不同的花卉,設(shè)EC=x百米,EF=y百米.
(1)當(dāng)點F與點D重合時,試確定點E的位置;
(2)試求x的值,使路EF的長度y最短.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=aex+ +b(a>0).
(Ⅰ)求f(x)在[0,+∞)內(nèi)的最小值;
(Ⅱ)設(shè)曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y= ,求a,b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}、等差數(shù)列{bn},滿足a1>0,b1=a1﹣1,b2=a2 , b3=a3且數(shù)列{an}唯一.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和.
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