【題目】設(shè)函數(shù)f(x)在定義域[﹣1,1]是奇函數(shù),當(dāng)x∈[﹣1,0]時,f(x)=﹣3x2 .
(1)當(dāng)x∈[0,1],求f(x);
(2)對任意a∈[﹣1,1],x∈[﹣1,1],不等式f(x)≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立,求θ的取值范圍.
【答案】
(1)解:由題意可知,f(﹣x)=﹣f(x),
設(shè)x∈[0,1],則﹣x∈[﹣1,0],
則f(﹣x)=﹣3x2,
∴f(﹣x)=﹣3x2=﹣f(x),
即f(x)=3x2
(2)解:由(1)知f(x)= ,
∵不等式f(x)≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立,
∴f(x)max≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立,
∵f(x)max=f(1)=3,
∴2cos2θ﹣asinθ+1≥3,
即2sin2θ+asinθ≤0,
設(shè)f(a)=2sin2θ+asinθ,
∵a∈[﹣1,1],
∴ ,即 ,
∴sinθ=0,
即θ=kπ,k∈Z
【解析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì),即可求出當(dāng)x∈[0,1],f(x)的表達式;(2)將不等式恒成立,轉(zhuǎn)換為最值恒成立即可得到結(jié)論.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《漢字聽寫大會》不斷創(chuàng)收視新高,為了避免“書寫危機”弘揚傳統(tǒng)文化,某市對全市10萬名市民進行了漢字聽寫測試,調(diào)查數(shù)據(jù)顯示市民的成績服從正態(tài)分布.現(xiàn)從某社區(qū)居民中隨機抽取50名市民進行聽寫測試,發(fā)現(xiàn)被測試市民正確書寫漢字的個數(shù)全部在160到184之間,將測試結(jié)果按如下方式分成六組:第一組,第二組,…,第六組,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)若電視臺記者要從抽取的市民中選1人進行采訪,求被采訪人恰好在第1組或第4組的概率;
(2)已知第1組市民中男性有3名,組織方要從第1組中隨機抽取2名市民組成弘揚傳統(tǒng)文化宣傳隊,求至少有1名女性群眾的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為為上位于第一象限的任意一點,過點的直線交于另一點,交軸的正半軸于點.
(1)若當(dāng)點的橫坐標(biāo)為,且為等腰三角形,求的方程;
(2)對于(1)中求出的拋物線,若點,記點關(guān)于軸的對稱點為交軸于點,且,求證:點的坐標(biāo)為,并求點到直線的距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(),與圖象的對稱軸相鄰的的零點為.
(Ⅰ)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè)的內(nèi)角,,的對應(yīng)邊分別為,,,且,,若向量與向量共線,求,的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)在點處的切線為,直線與軸相交于點.若點的縱坐標(biāo)恒小于1,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才藝:禮、樂、射、御、書、數(shù),簡稱“六藝”,某中學(xué)為弘揚“六藝”的傳統(tǒng)文化,分別進行了主題為“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六場傳統(tǒng)文化知識的競賽,現(xiàn)有甲、乙、丙三位選手進入了前三名的最后角逐、規(guī)定:每場知識競賽前三名的得分都分別為(,且);選手最后得分為各場得分之和,在六場比賽后,已知甲最后得分為26分,乙和丙最后得分都為11分,且乙在其中一場比賽中獲得第一名,則下列推理正確的是( )
A. 每場比賽第一名得分為4 B. 甲可能有一場比賽獲得第二名
C. 乙有四場比賽獲得第三名 D. 丙可能有一場比賽獲得第一名
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知F1、F2分別是雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦點,以坐標(biāo)原點O為圓心,OF1為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為P,則當(dāng)△PF1F2的面積等于a2時,雙曲線的離心率為( )
A.
B.
C.
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x2﹣3x+(a﹣1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)﹣g(x)+3x.
(1)當(dāng)a=5時,求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的最小值;
(2)當(dāng)a=3時,求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間及極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D為邊BC上一點,AD=6,BD=3,DC=2.
(1)若AD⊥BC,求∠BAC的大小;
(2)若∠ABC=,求△ADC的面積.
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