【題目】如圖,已知圓,點是圓上任意一點,線段的垂直平分線和半徑相交于.

(1)求動點的軌跡的方程;

(2)已知是軌跡的三個動點,點在一象限, 關(guān)于原點對稱,且,問的面積是否存在最小值?若存在,求出此最小值及相應(yīng)直線的方程;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2).

【解析】試題分析:1連接,根據(jù)題意, , ,可得動點的軌跡是以為焦點,長軸長為的橢圓,即可求出動點的軌跡的方程;(2設(shè)直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,求出的坐標,同理可得點的坐標,進而表示出的面積,利用基本不等式,即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)∵Q在線段PF的垂直平分線上,∴|QP|=|QF|,得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=4,

又|EF|=2<4,∴Q的軌跡是以E,F為焦點,長軸長為4的橢圓,∴Г y2=1.

(2)由點A在第一象限,BA關(guān)于原點對稱,設(shè)直線AB的方程為ykx(k>0),

∵|CA|=|CB|,∴CAB的垂直平分線上,∴直線OC的方程為y=-x. ,同理可得|OC|=

當且僅當k=1時取等號,∴SABC.

綜上,當直線AB的方程為yx時,△ABC的面積有最小值.

練習冊系列答案
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(1)求的值;

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(Ⅰ)求橢圓的方程.

(Ⅱ)若, 是橢圓上兩個不同的動點,且使的角平分線垂直于軸,試判斷直線的斜率是否為定值?若是,求出該值;若不是,說明理由.

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【題目】已知橢圓)的上頂點與拋物線)的焦點重合.

(1)設(shè)橢圓和拋物線交于 兩點,若,求橢圓的方程;

(2)設(shè)直線與拋物線和橢圓均相切,切點分別為, ,記的面積為,求證: .

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