Question

【題目】已知函數(shù)，其中，為實參數(shù)．求所有的數(shù)對，使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰好有2011個零點．

Answer 1

【答案】，，

【解析】

首先，函數(shù)以為周期，且以為對稱軸，即，．其次，，

，．

因為，關(guān)于對稱，所以，在及上

的零點個數(shù)為偶數(shù)．

要使在區(qū)間內(nèi)恰有2011個零點，則上述區(qū)間端點必有零點．

（1）若，則，．

考慮區(qū)間及上的零點個數(shù)．

當時，．

令．則．

解得（舍），．故在內(nèi)有兩解． ’

當時，．

解得（舍），（舍）．故在內(nèi)無解．

因此，在區(qū)間內(nèi)有三個零點．

故在內(nèi)有個零點．解得．

（2）若，則，，．

當時，．

令．則．

解得，（舍）．故在內(nèi)有一解．

當時，．

令．則，在內(nèi)無解．

故在區(qū)間內(nèi)只有一個零點．

于是，在內(nèi)有個零點．

（3）若，則，，．

同（2）討論，知在區(qū)間內(nèi)只有一個零點．

故在內(nèi)有個零點．

綜上，滿足條件的，，．