Question

【題目】如圖，等腰梯形中，，，，為中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置（平面）.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）.

【解析】

（I）先證明，再證明；（II）在平面POB內作PQ⊥OB,垂足為Q，

證明OP⊥平面ABCE，以O為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角的余弦值.

（I）證明：在等腰梯形ABCD中，連接BD，交AE于點O，

∵AB||CE,AB=CE，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AE=BC=AD=DE，

∴△ADE為等邊三角形，∴在等腰梯形ABCD中，，,

∴在等腰中，

∴,即BD⊥BC，

∴BD⊥AE，

翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又，，

；

（II）解：在平面POB內作PQ⊥OB,垂足為Q，

因為AE⊥平面POB，∴AE⊥PQ，

因為OB平面ABCE, AE平面ABCE,AE∩OB=O

∴PQ⊥平面ABCE，∴直線PB與平面ABCE夾角為，

又因為OP=OB，∴OP⊥OB，

∴O、Q兩點重合，即OP⊥平面ABCE，

以O為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，由題意得，各點坐標為,

設平面PCE的一個法向量為，

則

設，則y=-1,z=1，

∴，

由題意得平面PAE的一個法向量，

設二面角A-EP-C為，.

易知二面角A-EP-C為鈍角，所以.