設(shè)f(x)=
a•2x-12x+1
是R上的奇函數(shù).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若g(x)與f(x)關(guān)于直線y=x對稱,求g(x)的解析式和定義域.
(3)求解關(guān)于x的不等式g(x)>log2(1+x).
分析:(1)根據(jù)奇函數(shù)在x=0處的函數(shù)值為0,列式并解之可得a值,再加以檢驗即可;
(2)由f(x)的表達式解出用y表示x的式子,從而得到f(x)的反函數(shù)為y=log2
1+x
1-x
,再結(jié)合題意知g(x)就是函數(shù)f(x)的反函數(shù),由此可得函數(shù)g(x)的表達式;
(3)根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0,并結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性建立關(guān)于x的不等式組,解之即得原不等式的解集.
解答:解:(1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)
∴f(0)=
a•20-1
20+1
=0,解之得a=1
檢驗:當(dāng)a=1時,f(x)=
2x-1
2x+1
,
得f(-x)=
2-x-1
2-x+1
=
1-2x
1+2x
=-f(x)成立,故a=1符合題意.
(2)令y=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1
,可得2x=
2
1-y
-1=
1+y
1-y

∴x=log2
1+y
1-y
,可得f(x)=
2x-1
2x+1
的反函數(shù)為y=log2
1+x
1-x
,
∵函數(shù)g(x)圖象與f(x)圖象關(guān)于直線y=x對稱,
∴函數(shù)y=g(x)是函數(shù)f(x)的反函數(shù),故g(x)=log2
1+x
1-x

(3)g(x)>log2(1+x),即
1+x
1-x
>0
1+x>0
1+x
1-x
>1+x
,
解這個不等式組,得0<x<1,原不等式的解集是(0,1)
點評:本題給出含有指數(shù)式的分式函數(shù),求函數(shù)的奇偶性并解相應(yīng)的不等式,考查了基本初等的單調(diào)性、奇偶性和不等式的解法等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=
a•2x-11+2x
是R上的奇函數(shù).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)判定f(x)在R上的單調(diào)性.
(3)若對于任意的x∈[-1,1],f(x)-a≥0恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)a∈R,f(x)=
a•2x+a-2
2x+1
(x∈R),
(1)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù).
(2)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時,對于給定的正實數(shù)k,解不等式 f-1(x)>log2
1+x
k

(3)設(shè)g(n)=
n
n+1
(n∈N).當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時,試比較f(n)與g(n)的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)f(x)=
a•2x-1
2x+1
是R上的奇函數(shù).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若g(x)與f(x)關(guān)于直線y=x對稱,求g(x)的解析式和定義域.
(3)求解關(guān)于x的不等式g(x)>log2(1+x).

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