(I)已知橢圓C的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,設(shè)斜率為k的直線l,交橢圓C于A、B兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)為M.證明:當(dāng)直線l平行移動時(shí),動點(diǎn)M在一條過原點(diǎn)的定直線上;
(Ⅱ)利用(I)所揭示的橢圓幾何性質(zhì),用作圖方法找出下面給定橢圓的中心,簡要寫出作圖步驟,并在圖中標(biāo)出橢圓的中心.
分析:(I)設(shè)直線l的方程為y=kx+m且橢圓C的交點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),直線方程和橢圓方程聯(lián)立進(jìn)而可得x1+x2和y1+y2的表達(dá)式,進(jìn)而可得AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)進(jìn)而可判定AB的中點(diǎn)M在過原點(diǎn)的直線b2x+a2ky=0上.
(II)作兩條平行直線分別交橢圓于A、B和C、D,并分別取AB、CD的中點(diǎn)M、N,連接直線MN;又作兩條平行直線(與前兩條直線不平行)分別交橢圓于A1、B1和C1、D1,并分別取A1B1、C1D1的中點(diǎn)M1、N1,連接直線M1N1,那么直線MN和M1N1的交點(diǎn)O即為橢圓中心.
解答:解:(I)設(shè)直線l的方程為y=kx+m,與橢圓C的交點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),
則有
y=kx+m
x2
a2
+
y2
b2
=1
,解得 (b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0,
∵△>0,∴m2<b2+a2k2,即 -
b2+a2k2
<m<
b2+a2k2

則 x1+x2=-
2a2km
b2+a2k2
,y1+y2=kx1+m+kx2+m=
2b2m
b2+a2k2

∴AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-
a2km
b2+a2k2
,
b2m
b2+a2k2
)

∴線段AB的中點(diǎn)M在過原點(diǎn)的直線 b2x+a2ky=0上.…(8分)
另解:也可以用點(diǎn)差法先求出
y0
x0
=-
b2
a2k
(其中(x0,y0)為AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)),因此線段AB的中點(diǎn)M在過原點(diǎn)的直線 b2x+a2ky=0上.
(Ⅱ)如圖,作兩條平行直線分別交橢圓于A、B和C、D,并分別取AB、CD的中點(diǎn)M、N,連接直線MN;又作兩條平行直線(與前兩條直線不平行)分別交橢圓于A1、B1和C1、D1,并分別取A1B1、C1D1的中點(diǎn)M1、N1,連接直線M1N1,那么直線MN和M1N1的交點(diǎn)O即為橢圓中心.…(14分)
點(diǎn)評:本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與直線的關(guān)系.綜合考查了學(xué)生對橢圓性質(zhì)和利用韋達(dá)定理來解決橢圓與直線問題的掌握.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)(1)求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),且經(jīng)過點(diǎn)(-2,-
2
)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)已知橢圓C的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0).設(shè)斜率為k的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)為M.證明:當(dāng)直線l平行移動時(shí),動點(diǎn)M在一條過原點(diǎn)的定直線上.
(3)利用(2)所揭示的橢圓幾何性質(zhì),用作圖方法找出下面給定橢圓的中心,簡要寫出作圖步驟,并在圖中標(biāo)出橢圓的中心.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知橢圓C的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),點(diǎn)A,B分別是橢圓的長軸的左、右端點(diǎn),
左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0),且過點(diǎn)P 
3
2
,  
5
2
3
)

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知F是橢圓C的右焦點(diǎn),以AF為直徑的圓記為圓M,試問:過P點(diǎn)能否引圓M的切線,若能,求出這條切線與x軸及圓M的弦PF所對的劣弧圍成的圖形的面積;若不能,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(I)已知橢圓C的方程是數(shù)學(xué)公式,設(shè)斜率為k的直線l,交橢圓C于A、B兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)為M.證明:當(dāng)直線l平行移動時(shí),動點(diǎn)M在一條過原點(diǎn)的定直線上;
(Ⅱ)利用(I)所揭示的橢圓幾何性質(zhì),用作圖方法找出下面給定橢圓的中心,簡要寫出作圖步驟,并在圖中標(biāo)出橢圓的中心.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2007-2008學(xué)年江蘇省連云港市贛榆高級中學(xué)高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

(I)已知橢圓C的方程是,設(shè)斜率為k的直線l,交橢圓C于A、B兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)為M.證明:當(dāng)直線l平行移動時(shí),動點(diǎn)M在一條過原點(diǎn)的定直線上;
(Ⅱ)利用(I)所揭示的橢圓幾何性質(zhì),用作圖方法找出下面給定橢圓的中心,簡要寫出作圖步驟,并在圖中標(biāo)出橢圓的中心.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案