已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1、F2，上頂點為A，△AF1F2為正三角形，且以線段F1F2為直徑的圓與直線相切.
（Ⅰ）求橢圓C的方程和離心率e；
（Ⅱ）若點P為焦點F1關(guān)于直線的對稱點，動點M滿足. 問是否存在一個定點T，使得動點M到定點T的距離為定值？若存在，求出定點T的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由.
（Ⅰ）；（Ⅱ）存在一個定點且定值為.

試題分析：（Ⅰ）依題意由線段F1F2為直徑的圓與直線相切，根據(jù)點到直線的距離公式得，可得c值，再由△AF1F2為正三角形，得a、b、c間關(guān)系，求出a、b的值，即得橢圓方程及離心率；（Ⅱ）假設(shè)存在一個定點T符合題意，先求出點關(guān)于直線的對稱點，由題意得，可知動點M的軌跡，從而得解.
試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)焦點為，
以線段為直徑的圓與直線相切，，即c=2，    1分
又為正三角形，，  4分
橢圓C的方程為，離心率為.        6分
（Ⅱ）假設(shè)存在一個定點T符合題意，設(shè)動點，由點得
點關(guān)于直線的對稱點，                     7分
由得，
兩邊平方整理得，                      10分
即動點M的軌跡是以點為圓心，長為半徑的圓，
存在一個定點且定值為.                         12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的對稱中心為坐標(biāo)原點，上焦點為，離心率.

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)為軸上的動點，過點作直線與直線垂直，試探究直線與橢圓的位置關(guān)系.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2，一內(nèi)角為的菱形的四個頂點.
（I）求橢圓的方程；
（II）直線與橢圓交于，兩點，且線段的垂直平分線經(jīng)過點，求（為原點）面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線的焦點以及橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上．
（1）求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點的直線交拋物線于兩不同點，交軸于點，已知，則
是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

(本小題滿分12分)已知圓M：(x＋1)2＋y2=1，圓N：(x－1)2＋y2=9，動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線 C
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當(dāng)圓P的半徑最長時，求|AB|.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓的長軸在軸上，且焦距為4，則等于(　　)
A．4B．5C．7D．8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線的焦點為F2，點F1與F2關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，直線m垂直于x軸，垂足為T，與拋物線交于不同的兩點P、Q且.
（1）求點T的橫坐標(biāo)；
（2）若以F1,F2為焦點的橢圓C過點.
①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
②過點F2作直線l與橢圓C交于A,B兩點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知兩點F1(-1,0)及F2(1,0),點P在以F1、F2為焦點的橢圓C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|構(gòu)成等差數(shù)列.

（1）求橢圓C的方程;
（2）如圖,動直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點,點M,N是直線l上的兩點,且F1M⊥l, F2N⊥l.求四邊形F1MNF2面積S的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

求滿足下列條件的橢圓方程長軸在軸上，長軸長等于12，離心率等于；橢圓經(jīng)過點；橢圓的一個焦點到長軸兩端點的距離分別為10和4.

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