已知離心率為的橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖,過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦,若點(diǎn)在軸上,且使得為的一條內(nèi)角平分線,則稱點(diǎn)為該橢圓的“左特征點(diǎn)”,求橢圓的“左特征點(diǎn)”的坐標(biāo).
(1)橢圓的方程為,其準(zhǔn)線方程為;(2).
解析試題分析:(1)由題意知:,解得,,
故橢圓的方程為,其準(zhǔn)線方程為 4分
(2)設(shè)為橢圓的左特征點(diǎn),橢圓的左焦點(diǎn)為,可設(shè)直線的方程為:,
聯(lián)立方程組,消去得,即,
設(shè),則
∵被軸平分,∴,即,
,
即,
∴于是,
∵,∴,即,∴.
考點(diǎn):本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,三角形面積計(jì)算。
點(diǎn)評(píng):中檔題,不必太其橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì),a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問(wèn)題,往往通過(guò)聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理。本題(2)涉及新定義問(wèn)題,注意理解其實(shí)質(zhì)內(nèi)容。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,直線與軸交于點(diǎn),若(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn),為圓的任意一條直徑(、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)),求的最大值.
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如圖,過(guò)拋物線(>0)的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦OA、OB。
⑴設(shè)OA的斜率為k,試用k表示點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
⑵求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程。
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橢圓與軸負(fù)半軸交于點(diǎn),為橢圓第一象限上的點(diǎn),直線交橢圓于另一點(diǎn),橢圓左焦點(diǎn)為,連接交于點(diǎn)D。
(1)如果,求橢圓的離心率;
(2)在(1)的條件下,若直線的傾斜角為且△ABC的面積為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
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已知拋物線的焦點(diǎn)為F2,點(diǎn)F1與F2關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,直線m垂直于軸(垂足為T(mén)),與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P、Q,且.
(Ⅰ)求點(diǎn)T的橫坐標(biāo);
(Ⅱ)若橢圓C以F1,F2為焦點(diǎn),且F1,F2及橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)圍成的三角形面積為1.
① 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
② 過(guò)點(diǎn)F2作直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),設(shè),若的取值范圍.
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若直線過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),且與雙曲線的一條漸近線平行.
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)與軸不平行的直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)的垂直平分線為,求直線在軸上截距的取值范圍.
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如圖,已知直線與拋物線相切于點(diǎn),且與軸交于點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),定點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)若動(dòng)點(diǎn)滿足,求點(diǎn)的軌跡;
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線(斜率不等于零)與(1)中的軌跡交于不同的兩點(diǎn)(在之間),試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.
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已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),,過(guò)且與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓交于兩點(diǎn),如果的周長(zhǎng)等于8。
(1)求橢圓的方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn),試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn),使恒為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)及定值;若不存在,說(shuō)明理由。
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