Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+alnx的定義域是D，關于函數(shù)f（x）給出下列命題：
①對于任意a∈（0，+∞），函數(shù)f（x）是D上的減函數(shù)；
②對于任意a∈（-∞，+0），函數(shù)f（x）存在最小值；
③對于任意a∈（0，+∞），使得對于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；
④對于任意a∈（-∞，+0），使得函數(shù)f（x）有兩個零點．
其中正確命題的個數(shù)是（　�。〣．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：

分析：求出函數(shù)的導函數(shù)，分析當a∈（0，+∞）時，導函數(shù)的符號，進而可得函數(shù)的單調性；分析當a∈（-∞，0）時，函數(shù)的單調性，進而求出函數(shù)的最值，進而可判斷②；分析函數(shù)的零點及單調性，可判斷③．

解答： 解：∵f′（x）=e^x+

a

x

，定義域為D（0，+∞）．
當a∈（0，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，故f（x）是D上的增函數(shù)，故①錯誤；
當a∈（-∞，0）時，存在x₀∈D，使f′（x）=0，
則f（x）在（0，x₀）上是減函數(shù)，在（x₀，+∞）上是增函數(shù)，
則f（x₀）為函數(shù)的最小值，故②正確；
當a∈（0，+∞）時，函數(shù)存在零點x₀，由①得f（x）是D上的增函數(shù)，
則當x∈（0，x₀）時，f（x）＜0．故③錯誤；
當a∈（-∞，0）時，由②得：
f（x）在（0，x₀）上是減函數(shù)，在（x₀，+∞）上是增函數(shù)，
f（x₀）＜0，故④正確；
故選：B．

點評：本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了利用導函數(shù)求函數(shù)的單調性，最值，零點，難度中檔．