Question

如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AD=BC=2，對角線AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直線PA與底面ABCD所成的角為60°，M為PD上的一點。

（Ⅰ）證明：PD⊥AC；

（Ⅱ）求二面角P―AB―C的大小；

（Ⅲ）若DM : MP=k，則當k為何值時直線PB⊥//平面ACM？

Answer 1

解：（I）∵PO⊥平面ABCD

∴DO為DP在平面ABCD內(nèi)的射影又AC⊥BD

∴AC⊥PD

（Ⅱ）取AB中點N，連結(jié)ON，PN

∵四邊形ABCD為等腰梯形

∴△ABD≌△BAC  ∴∠ABD=∠BAC

∴OA=OB         ∴ON⊥AB.

又∵PO⊥平面ABCD

∴ON為PN在底面ABCD內(nèi)的射影，∴PN⊥AB

∴∠PNO即為二面角P―AB―C的平面角

在Rt△DOA中，∠DAO=60°，AD=2

∴AO=1，DO=

在Rt△AOB中，

∵PO⊥平面ABCD

∴OA為PA在底面ABCD內(nèi)的射影

∴∠PAO為直線PA與底面ABCD所成的角，

∴∠PAO=60°

在Rt△POA中，AO=1       ∴PO=

∴在Rt△PON中，

∴二面角P―AB―C的大小為

方法二：

如圖，以O(shè)為坐標原點，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.

A（0，－1，0），B（1，0，0）    P（0，0，  O（0，0，0）

∵PO⊥平面ABCD ∴為平面ABCD的法向量

設(shè)為平面PAB的法向量

則

 

∴二面角P―AB―C的大小為

（Ⅲ）連結(jié)MO

當DM：MP=時，直線PB//平面ACM

∵AO=1，BO=AO=1，DO= ∴DO：OB=

又∵DM：MP=           ∴在△BDP中，MO//PB

又∵MO平面ACM

∴PB//平面ACM