Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性．

(2)是否存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)∵f(x)＝ex－，且y＝ex是增函數(shù)，

y＝－是增函數(shù)，∴f(x)是增函數(shù)．

∵f(x)的定義域?yàn)镽，

且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，

∴f(x)是奇函數(shù)．

(2)由(1)知f(x)是增函數(shù)和奇函數(shù)，

由f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)x∈R恒成立，

則f(x－t)≥f(t2－x2)．

∴t2－x2≤x－tx2＋x≥t2＋t對(duì)x∈R恒成立≤min對(duì)一切x∈R恒成立≤0t＝－.

即存在實(shí)數(shù)t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)一切x都成立．