如圖,在四棱錐A-BCDE中,底面四邊形BCDE是等腰梯形,BC∥DE, =45 ,O是BC的中點(diǎn),AO= ,且BC=6,AD=AE=2CD=2 ,

(1)證明:AO⊥平面BCD;(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.
(1)證明詳見解析;(2) 

試題分析:(1)根據(jù)勾股定理證,即,再證,直線與平面垂直的判定定理即可得證明;

(2)過O點(diǎn)作交CD的延長線于H,根據(jù)已知可證二面角A-CD-B的平面角,然后通過解三角形即可求得.
試題解析:(1)易得OC=3,AD=2,連結(jié)OD,OE,在∆OCD中,
由余弦定理可得OD= =.
∵AD=2,∴,∴,
同理可證:,又∵,平面BCD , 平面BCD ,∴AO⊥平面BCD;
(2)方法一:過O點(diǎn)作交CD的延長線于H,連結(jié)AH,因?yàn)锳O⊥平面BCD,所以,故為二面角A-CD-B的平面角.
因?yàn)镺C=3, =45,所以O(shè)H= ,從而tan=.

方法二:以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖所示.則A(0,0, ),C(0,-3,0),D(1,-2,0),
所以=(0,3,),=(-1,2,).
設(shè)為平面ACD的一個(gè)法向量,則 ,
 解得 ,令x=1,得.
由(1)知,為平面CDB的一個(gè)法向量,所以cos< >==,
由A-CD-B為銳二面角,所以二面角A-CD-B的平面角的正切值為 .
練習(xí)冊系列答案
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(2)證明:;
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C.底面是菱形,且有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直
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(本小題滿分14分)
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(2)求證:PC⊥AB;
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