Question

已知（1+3x）ⁿ的展開式中，末三項的二項式系數(shù)的和等于121．
（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
（2）求展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)展開式中，末三項的二項式系數(shù)的和等于121，利用二項式系數(shù)為C_n^r，列出方程求出n值，由于n為奇數(shù)，故可知展開式的中間兩項二項式系數(shù)最大．
（2）利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，利用展開式中最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時大于它后面的系數(shù)求出展開式中系數(shù)最大的項．
解答：解：由題意，∵末三項的二項式系數(shù)分別為C_n^n-2，C_n^n-1，C_nⁿ
∴C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ=121
∴C_n²+C_n¹+C_n=121即n²+n-240=0
∴n=15或n=-16（舍）
（1）∴T_r+1=C₁₅^r（3x）^r=C₁₅^r3^rx^r
設(shè)第r+1項與第r項的系數(shù)分別為t_r+1，t_r
令t_r+1=C₁₅^r3^r，t_r=C₁₅^r-13^r-1
∴t_r+1≥t_r則可得3（15-r+1）＞r解得r≤12
∴當r取小于12的自然數(shù)時，都有t_r＜t_r+1當r=12時，t_r+1=t_r
∴展開式中系數(shù)最大的項為T₁₂=C₁₅¹¹3¹¹x¹¹和T₁₃=C₁₅¹²3¹²x¹²
（2）T_r+1=C₁₅^r（3x）^r=C₁₅^r3^rx^r
設(shè)第r+1項與第r項的系數(shù)分別為t_r+1，t_r
令t_r+1=C₁₅^r3^r，t_r=C₁₅^r-13^r-1
∴t_r+1≥t_r則可得3（15-r+1）＞r解得r≤12
∴當r取小于12的自然數(shù)時，都有t_r＜t_r+1
當r=12時，t_r+1=t_r
∴展開式中系數(shù)最大的項為T₁₂=C₁₅¹¹3¹¹x¹¹和T₁₃=C₁₅¹²3¹²x¹²
點評：本題以二項式為載體，考查考展開式中二項式系數(shù)最大項，考查二項展開式中的系數(shù)最大的項的求法，利用最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時大于它后面的系數(shù)是求二項展開式中的系數(shù)最大的項的關(guān)鍵