Question

已知（1+3x）ⁿ的展開式中，末三項的二項式系數(shù)的和等于121，則展開式中系數(shù)最大的項為

C

11 15

311x11和

C

12 15

312x12

．

Answer 1

分析：由題意可得，

C

n n

+

C

n-1 n

+

C

n-2 n

=121，解方程可求n，然后求出展開式的通項為T_r+1=

3rC

r 15

xr，結合

3r C r 15 ≥3r+1 C r+1 15 3r C r 15 ≥3r-1 C r-1 15

，可求r，進而可求

解答：解：由題意可得，

C

n n

+

C

n-1 n

+

C

n-2 n

=121
∴n+1+

1

2

n（n-1）=121
解可得，n=15
∴（1+3x）¹⁵的展開式的通項為T_r+1=

3rC

r 15

xr
令

3r C r 15 ≥3r+1 C r+1 15 3r C r 15 ≥3r-1 C r-1 15

，解可得，11≤r≤12
∵r∈N^*
∴r=11或12
r=11時，T₁₂=311

C

11 15

x11
r=12時，T₁₃

=312C

12 15

x12
展開式中系數(shù)最大的項為

C

11 15

311x11和

C

12 15

312x12
故答案為：

C

11 15

311x11和

C

12 15

312x12

點評：本題主要考查了二項展開式的系數(shù)最值的求解，解題的關鍵是熟練掌握二項展開式的性質