Question

現有甲、乙、丙三人參加某電視臺的應聘節(jié)目《非你莫屬》，若甲應聘成功的概率為

1

2

，乙、丙應聘成功的概率均為

t

2

（0＜t＜2），且三個人是否應聘成功是相互獨立的．
（Ⅰ）若乙、丙有且只有一個人應聘成功的概率等于甲應聘成功是相互獨立的，求t的值；
（Ⅱ）記應聘成功的人數為ξ，若當且僅當ξ為2時概率最大，求E（ξ）的取值范圍．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：應用題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據乙、丙有且只有一個人應聘成功的概率等于甲應聘成功是相互獨立的，建立方程，即可求t的值；
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，求出相應的概率，即可得到ξ的分布列和期望，利用當且僅當ξ為2時概率最大，即可求E（ξ）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得2×

t

2

×(1-

t

2

)=

1

2

，解得t=1．…（3分）
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
P(ξ=0)=(1-

1

2

)(1-

t

2

)(1-

t

2

)=

(2-t)2

8

；P(ξ=1)=

1

2

×(1-

t

2

)×(1-

t

2

)+2×(1-

1

2

)×

t

2

×(1-

t

2

)=

4-t2

8

；P(ξ=2)=2×

1

2

×

t

2

×(1-

t

2

)+(1-

1

2

)×

t

2

×

t

2

=

4t-t2

8

；
P(ξ=3)=

1

2

×

t

2

×

t

2

=

t2

8

．
故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	(2-t)2 8	4-t2 8	4t-t2 8	t2 8

…（7分）∴Eξ=t+

1

2

．…（8分）
由題意得：P(ξ=2)-P(ξ=1)=

t-1

2

＞0，P(ξ=2)-P(ξ=0)=

-t2+4t-2

4

＞0，P(ξ=2)-P(ξ=3)=

2t-t2

4

＞0，
又因為0＜t＜2
所以解得t的取值范圍是1＜t＜2．…（11分）
所以

3

2

＜Eξ＜

5

2

．…（12分）

點評：本題考查互斥事件的概率公式，考查離散型隨機變量的分布列與期望，確定變量的取值，求出概率是關鍵．