Question

（本小題滿(mǎn)分10分）
在三棱錐S—ABC中,底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)S在
底面ABC上的射影O恰是BC的中點(diǎn),側(cè)棱SA和底面成45°角．
(1) 若D為側(cè)棱SA上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，BD⊥AC；
(2) 求二面角S—AC—B的余弦值大�。�

Answer 1

（1）． (2) .

本試題主要是考查了立體幾何中線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明以及二面角的平面角的求解的綜合運(yùn)用。
（1）建立合理的空間直角坐標(biāo)系，然后表示向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零來(lái)證明垂直。
（2）結(jié)合平面的法向量的坐標(biāo)，和法向量的夾角公式，來(lái)表示二面角的平面角的大小。
以O點(diǎn)為原點(diǎn),OC為x軸,OA為y軸,OS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223809090522.png" style="vertical-align:middle;" />是邊長(zhǎng)為的正三角形，又與底面所成角為，所以∠，所以．
所以O(0,0,0)，C(,0,0)，A(0,3,0)，S(0,0,3)，B(－,0,0)．…………………………2分

（1）設(shè)AD=a，則D(0,3－a,a)，所以=(－,3－a,a)，
=(,－3,0)．若BD⊥AC，則·=3－3(3－a)=0，
解得a=2，而AS=3，所以SD=，
所以．………………………5分
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223809543410.png" style="vertical-align:middle;" />=(0,－3,3)，=(2,0,0)
設(shè)平面ACS的法向量為n₁=(x,y,z),
則
令z=1，則x=，y=1，所以n₁=(,1,1)………………………………………………………7分
而平面ABC的法向量為n₂=(0,0,1), ………………………………………………………………8分
所以cos<n₁,n₂>=，又顯然所求二面角的平面角為銳角，
故所求二面角的余弦值的大小為.……………………………………………………………10分