【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）若，，且存在不相等的實數(shù)，，使得，求證：且.

【答案】(1)見證明；(2)見證明

【解析】

（1）求得函數(shù)的導數(shù)，分類討論，即可求解函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）由存在不相等的實數(shù)，，使得矛盾，得到，再由，轉化為證明，轉化為證明，利用換元法和導數(shù)，求得函數(shù)的單調性與最值，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，可得，

當時，因為，所以，所以，

故函數(shù)在上單調遞增；

當時，，，所以，

故函數(shù)在單調遞增；當時，，

解得或，，

解得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，

在區(qū)間和區(qū)間上單調遞增.

綜上所述，當時，函數(shù)在上單調遞增，

當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，

在區(qū)間和區(qū)間上單調遞增.

（2）由題知，則.

當時，，所以在上單調遞增，

與存在不相等的實數(shù)，，使得矛盾，所以.

由，得，

所以，不妨設，

因為，所以，

欲證，只需證，

只需證，

令，，等價于證明，即證，

令，，

所以在區(qū)間上單調遞減，所以，

從而得證，于是.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】謝爾賓斯基三角形（Sierpinski triangle）是一種分形，由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基在1915年提出.在一個正三角形中，挖去一個“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個“中心三角形”，我們用白色三角形代表挖去的部分，黑色三角形為剩下的部分，我們稱此三角形為謝爾賓斯基三角形.若在圖（3）內隨機取一點，則此點取自謝爾賓斯基三角形的概率是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】工廠抽取了在一段時間內生產的一批產品，測量一項質量指標值，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）計算該樣本的平均值，方差；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）

（2）若質量指標值在之內為一等品.

（i）用樣本估計總體，問該工廠一天生產的產品是否有以上為一等品？

（ii）某天早上、下午分別抽檢了50件產品，完成下面的表格，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認為一等品率與生產時間有關？

一等品個數(shù)

非一等品個數(shù)

總計

早上

36

50

下午

26

50

總計

附：.

0.25

0.15

0.10

0.050

0.010

0.001

1.323

2.072

2.706

3.841

6.635

10.828

參考數(shù)據(jù)：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分，（1）小問5分，（2）小問7分）

如圖，橢圓的左、右焦點分別為過的直線交橢圓于兩點，且

（1）若，求橢圓的標準方程

（2）若求橢圓的離心率

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）討論函數(shù)的單調性

（2）函數(shù)，且．若在區(qū)間（0，2）內有零點，求實數(shù)m的取值范圍

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知a＞0，且a≠1．命題P：函數(shù)f（x）＝logax在（0，+∞）上為增函數(shù)；命題Q：函數(shù)g（x）＝x2﹣2ax+4有零點．

（1）若命題P，Q滿足P真Q假，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）命題S：函數(shù)y＝f（g（x））在區(qū)間[2，+∞）上值恒為正數(shù)．若命題S為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著手機的發(fā)展，“微信”逐漸成為人們支付購物的一種形式.某機構對“使用微信支付”的態(tài)度進行調查，隨機抽取了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信支付”贊成人數(shù)如下表.

年齡

（單位：歲）

，

，

，

，

，

，

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

5

10

12

7

2

1

（Ⅰ）若以“年齡45歲為分界點”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“使用微信支付”的態(tài)度與人的年齡有關；

年齡不低于45歲的人數(shù)

年齡低于45歲的人數(shù)

合計

贊成

不贊成

合計

（Ⅱ）若從年齡在的被調查人中按照贊成與不贊成分層抽樣，抽取5人進行追蹤調查，在5人中抽取3人做專訪，求3人中不贊成使用微信支付的人數(shù)的分布列和期望值.

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

，其中.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】記焦點在同一條軸上且離心率相同的橢圓為“相似橢圓”.已知橢圓，以橢圓的焦點為頂點作相似橢圓.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設直線與橢圓交于兩點，且與橢圓僅有一個公共點，試判斷的面積是否為定值(為坐標原點)？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）設函數(shù)（其中為的導函數(shù)），判斷在上的單調性；

（2）若函數(shù)在定義域內無零點，試確定正數(shù)的取值范圍.

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