【題目】已知曲線C1上任意一點(diǎn)M到直線l:y=4的距離是它到點(diǎn)F(0,1)距離的2倍;曲線C2是以原點(diǎn)為頂點(diǎn),F為焦點(diǎn)的拋物線.
(1)求C1,C2的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)F的直線與曲線C2相交于A,B兩點(diǎn),分別以A,B為切點(diǎn)引曲線C2的兩條切線l1,l2,設(shè)l1,l2相交于點(diǎn)P,連接PF的直線交曲線C1于C,D兩點(diǎn),求的最小值.
【答案】(1) ,;(2)7
【解析】試題分析:(1)利用直接法求曲線的軌跡方程,利用拋物線的定義求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線方程,聯(lián)立直線和橢圓的方程,得到關(guān)于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系、平面向量的數(shù)量積和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.
試題解析:(1)設(shè)M(x,y),則=2,
∴曲線C1的方程為+=1,
設(shè)曲線C2的方程為x2=2py(p>0),則=1,
∴p=2,∴曲線C2的方程為x2=4y.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程為y=kx+1,
代入曲線C2的方程得x2-4kx-4=0,
∴
由y=,∴y′=,
∴l1:y=x-,l2:y=x-,
∴P(,),∴P(2k,-1),
∴kPF=,∴CD⊥AB,
CD:y=-x+1,
代入曲線C1的方程得(4k2+3)y2-8k2y+4k2-12=0,
設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),
∴
∴·=(+)·(+)
=·+·+·+·=||||+||||
=(y1+1)(y2+1)+|y3-4|·|y4|
=(kx1+2)(kx2+2)+
=k2x1x2+2k(x1+x2)+-(y1+y2)+8
=4(k2+1)+=+(t+)
(其中t=4k2+3≥3)
設(shè)f(t)=t+ (t≥3),
則f′(t)=1-=>0,
故f(t)在[3,+∞)單調(diào)遞增,
因此·=+(t+)
≥+3+=7,
當(dāng)且僅當(dāng)t=3即k=0等號成立,
故·的最小值為7.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知m>0,p:(x+2)(x-6)≤0,q:2-m≤x≤2+m.
(1)若p是q成立的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若是 成立的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí), 恒成立,求范圍;
(Ⅱ)方程有唯一實(shí)數(shù)解,求正數(shù)的值.
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【題目】(2016·懷仁期中)已知命題:x∈[-1,2],函數(shù)f(x)=x2-x的值大于0.若∨是真命題,則命題可以是( )
A. x∈(-1,1),使得cos x<
B. “-3<m<0”是“函數(shù)f(x)=x+log2x+m在區(qū)間上有零點(diǎn)”的必要不充分條件
C. 直線x=是曲線f(x)=的一條對稱軸
D. 若x∈(0,2),則在曲線f(x)=ex(x-2)上任意一點(diǎn)處的切線的斜率不小于-1
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)為何值時(shí), 軸為曲線的切線;
(2)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.
(1)證明:f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
(2)若對于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范圍.
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【題目】已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為, 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn), ()為其對稱軸上一點(diǎn),直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為.當(dāng)為拋物線的焦點(diǎn)且直線與其對稱軸垂直時(shí), 的面積為18.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)記,若值與點(diǎn)位置無關(guān),則稱此時(shí)的點(diǎn)為“穩(wěn)定點(diǎn)”,試求出所有“穩(wěn)定點(diǎn)”,若沒有,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)若,求函數(shù)的極值及單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn),使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知.
(1)若方程在上有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若在上的最小值為,求實(shí)數(shù)的值.
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