已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左右焦點,以坐標原點O為圓心,以雙曲線的半焦距c為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為A,與y軸正半軸的交點為B,點A在y軸上的射影為H,
OH
=(0,
3
2
c)

(1)求雙曲線的離心率;
(2)若AF1交雙曲線于點M,且
F1M
MA
,求λ.
分析:(1)根據(jù)題意與
OH
=(0,
3
2
c)
,可求A(
c
2
3
2
c)
,A在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
上,將點A的坐標代入,
整理后利用a2+b2=c2即可求得雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的離心率;
(2)由
F1M
MA
,結(jié)合已知條件可求得M(
(λ-2)c
2(1+λ)
,
3
λc
2(1+λ)
)
,將點A、M的坐標代入
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,得到方程組,從而轉(zhuǎn)化為離心率與λ的函數(shù)關系,從而可求得λ.
解答:解:(1)由已知F1(-c,0),點A在y軸上的射影為H,…(1分)
OH
=(0,
3
2
c)

H(0,
3
2
c)
A(
c
2
,
3
2
c)
∵A在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1

c2
4a2
-
3c2
4b2
=1
…(4分).
b2c2-3a2c2=4a2b2,c4-8a2c2+4a4=0,e4-8e2+4=0
e2=4+2
3
,e=
3
+1
…(6分)
(2)∵
F1M
MA
M(
(λ-2)c
2(1+λ)
,
3
λc
2(1+λ)
)
…(8分)
由A,M都在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
上,
c2
4a2
-
3c2
4b2
=1…(1)
c2(λ-2)2
4a2(1+λ)2
-
3c2λ2
4b2(1+λ)2
=1…(2)
…(10分)
由(1)得 
c2
b2
=
e2-4
3
代入(2)
e2(λ-2)2
4(1+λ)2
-
(e2-4)λ2
4(1+λ)2
=1
,
λ=
e2-1
e2+2
=
3
+1
4
…(12分)
點評:本題考查圓與圓錐曲線的綜合,著重考查學生解方程組與綜合應用a2,b2,c2,及離心率e之間的關系,屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•湖南)已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:
x25
+y2=1
的左、右焦點F1,F(xiàn)2關于直線x+y-2=0的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)設過點F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a,b.當ab最大時,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•青島二模)已知F1、F2分別是雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的左、右焦點,P為雙曲線右支上的一點,
PF2
F1F2
,且|
PF1
|=
2
|
PF2
|
,則雙曲線的離心率為(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a>0, b>0)
的左、右焦點,過點F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M,若點M在以線段F1F2為直徑的圓外,則雙曲線離心率的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點,且橢圓C的離心率e=
1
2
,F(xiàn)1也是拋物線C1:y2=-4x的焦點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點F2的直線l交橢圓C于D,E兩點,且2
DF2
=
F2E
,點E關于x軸的對稱點為G,求直線GD的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左,右焦點,P是雙曲線的上一點,若
PF1
PF2
=0
|
PF1
|•|
PF2
|=3ab
,則雙曲線的離心率是
 

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